Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Encontre uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica Ω com geratrizes paralelas ao vetor v → = ( 3 ,   0 ,   2 ) e diretriz Γ :   y 2 = 3 z x = 0

Passo 1

Para que isso ocorra, deve existir um X = ( x ,   y ,   z ) e um Q = u ,   v ,   w ϵ Γ tal que X Q → = λ v → , ou seja:

Q = X + λ v →

( u ,   v ,   w ) = ( x ,   y ,   z ) + λ ( 3 ,   0 ,   2 )

Isso nos dá o sistema:

u = x + 3 λ v = y w = z + 2 λ   ( i )

Como Q pertence a Γ , teremos

Γ :   v ² = 3 w u = 0   ( i i )

Passo 2

Beleza, agora a gente substitui as relações de ( i ) em ( i i ) :

Γ :   y ² = 3 ( z + 2 λ ) x + 3 λ = 0

Da segunda equação, temos

λ = - x 3

Substituindo isso na primeira equação, encontramos nossa equação de Ω :

Ω :   y ² = 3 z + 2 - x 3

Ω :   y 2 = 3 z - 2 x  

Resposta

Ω :   y 2 = 3 z - 2 x  

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