Exercícios Resolvidos de Superfícies

Unicamp, 2ª Chamada – Geometria Analítica, 20/06/2013 (manhã), pág. 1, Questão 3

Encontrar a equação (em coordenadas cartesianas) da superfície cilíndrica S com curva diretriz a cônica C :   x 2 + 4 y = 0 no plano O x y e retas geratrizes paralelas ao vetor v = ( - 1 ,   2 ,   - 3 ) .

Passo 1

Para ficarmos afiados em superfícies cilíndricas vamos resolver mais um exercício parecido com o anterior!!

O enunciado nos dá três informação:

  • Curva diretriz a cônica C :   x 2 + 4 y = 0
  • Sendo que C está no plano O x y , ou seja, z = 0 .
  • Retas geratrizes paralelas ao vetor v = - 1 ,   2 ,   - 3 = ( m ,   n ,   p )
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar a montar nossas expressões. A curva diretriz da nossa superfície será:

C : f x , y ,   z = x 2 + 4 y = 0 g x ,   y ,   z = z = 0     ( 1 )

Como temos que v = - 1 ,   2 ,   - 3 = ( m ,   n ,   p ) . Podemos escrever que:

f x - λ , y + 2 λ , z - 3 λ = 0 g x - λ , y + 2 λ , z - 3 λ = 0

Susbtituindo no sistema ( 1 ) teremos então:

( x - λ ) 2 + 4 ( y + 2 λ ) = 0 z - 3 λ = 0

Isolando λ :

λ = z 3

Substituindo:

x - z 3 2 + 4 y + 2 z 3 = 0

Pronto!! Mais uma vez chegamos na expressão da nossa superfície cilíndrica!!

Resposta

x - z 3 2 + 4 y + 2 z 3 = 0

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