Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, Prova Final - 2019.1, Questão Q3

No plano Equation considere a parábola Equation .

a) Determine o vértice e o foco de Equation .

b) Esboce Equation .

c) Escreva a equação da diretriz de Equation .

d) Escreve uma equação livre de parâmetros para a superfície no espaço obtida pela rotação da parábola

Equation

Em torno do eixo Equation .

Passo 1

a) Vamos completar os quadrados da equação de Equation :

Equation

Equation

Equation

Pela equação, vemos que o vértice é Equation .

Equation vale Equation e portanto Equation (lembrando que como o quadrado está em Equation , a parábola está de lado, então seu foco em Equation é o mesmo que seu vértice).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Com base no que sabemos da geometria dessa parábola (que ela está de lado) e sabendo o vértice e foco, seu esboço será assim

Passo 3

c) A diretriz Equation será paralela ao eixo Equation e vai ser dada pelo vértice em Equation somado a Equation , ou seja:

Equation

Equation

Passo 4

d) A superfície que estamos procurando é a união das circunferências que têm centro no eixo Equation . Para que um ponto genérico Equation esteja em uma dessas circunferências, ela deve ter centro Equation e conter o ponto Equation , seja Equation o equivalente a Equation na equação de Equation dada no enunciado.

Isso só vai ocorrer se Equation . Logo:

Equation

Equation

Sabendo que Equation equivale a Equation e isolando Equation na equação de Equation , temos que Equation :

Equation

Equation

Resposta

a) Equation Equation

b)

c) Equation

d) Equation

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