Exercícios Resolvidos de Conjunto de Aletas

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Enunciado

Um aquecedor de ar consiste em um tubo de aço ( k = 20   W . m - 1 . K - 1 ) com raios interno e externo r 1 = 13   m m e r 2 =   16   m m respectivamente e oito aletas longitudinais integrais, cada uma com espessura t =   3   m m . As aletas se estendem até um tubo concêntrico de raio r 3 = 40   m m , o qual tem sua face externa isolada. Água à temperatura T ∞ , i = 90 o C escoa através do tubo interno enquanto o ar à temperatura de T ∞ , e =   25 o C escoa através da região anular formada pelo tubo concêntrico maior.

a Esboce o circuito térmico equivalente do aquecedor e relacione cada resistência com os parâmetros apropriados do sistema.

b Se h i =   5000   W . m - 2 . K - 1 e h e =   200   W . m - 2 . K - 1 , qual é a taxa de calor por unidade de comprimento?

Passo 1

a Esboce o circuito térmico equivalente do aquecedor e relacione cada resistência com os parâmetros apropriados do sistema.

Em que:

  R c o n v , i ' = 1 h i . ( 2 π . r 1 )                   ;             R c o n d ' = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . k                   ;                     R t , a ' = 1 η t . h e . A t '

Passo 2

b Se h i =   5000   W . m - 2 . K - 1 e h e =   200   W . m - 2 . K - 1 , qual é a taxa de calor por unidade de comprimento?

Pelo circuito térmico, a gente já sabe como escrever a taxa de calor que passa pelo sistema:

q ' = T ∞ , i - T ∞ , e R c o n v , i ' + R c o n d ' + R t , a '

Bora calcular as resistências térmicas:

R c o n v , i ' = 1 h i . 2 π . r 1

R c o n v , i ' = 1 5000   W . m - 2 . K - 1 . [ 2 π . 0,013   m ]

R c o n v , i ' = 2,45   x   10 - 3   m . K . W - 1  

R c o n d ' = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . k

R c o n d ' = ln ⁡ 0,016   m 0,013   m 2 π . 20   W . m - 1 . K - 1

R c o n d ' = 1,65   x   10 - 3   m . K . W - 1

Passo 3

Para calcular a resistência térmica do sistema aletado, temos o seguinte:

η t = 1 - N . A a ' A t ' . 1 - η a

Em que, A a ' representa a área de uma aleta sobre a unidade de comprimento e A t ' representa a área total do sistema aletado, inclusive a área da base que fica exposta.

Pra calcular essas áreas a gente pode considerar que o raio da superfície cilíndrica é muito maior que a espessura da aleta, então a gente pode admitir que a aleta é plana de seção retangular!

Bora lá! A gente tem que:

A a ' = 2 . r 3 - r 2                         e                           A t ' = N . A a ' + ( 2 π . r 2 - N . t )

Sendo assim:

A a ' = 2 . 0,040 - 0,016   m                         →                               A a ' = 0,048   m

A t ' = 8 . 0,048   m + 2 π . 0,016   m - 8 . 0,003   m                         →                               A t ' = 0,461   m

Agora só precisamos determinar a eficiência deste tipo de geometria de aleta ( η a ). Como as aletas são planas e retangulares, a gente tem o seguinte:

η a = tanh ⁡ m . L m . L                           →                               η a = tanh ⁡ [ m . ( r 3 - r 2 ) ] m . ( r 3 - r 2 )

Em que:

m = 2 . h e k . t                         →                             m = 2 . 200   W . m - 2 . K - 1   20   W . m - 1 . K - 1 . 0,003   m                           →                               m = 81,65

Assim, temos que:

η a = tanh ⁡ 81,65 . 0,040 - 0,016   m 81,65 . 0,040 - 0,016   m

η a = 0,49

Dessa forma:

η t = 1 - 8 . ( 0,048   m ) ( 0,461   m ) . 1 - 0,49

η t = 0,57

Passo 4

Agora a gente pode calcular a resistência térmica de contato do sistema aletado por:

R t , a ' = 1 η t . h e . A t '

R t , a ' = 1 0,57 . 200   W . m - 2 . K - 1 . ( 0,461   m )

R t , a ' = 18,87   x   10 - 3   m . K . W - 1

E, finalmente, a taxa de calor por unidade de comprimento será:

q ' = T ∞ , i - T ∞ , e R c o n v , i ' + R c o n d ' + R t , a '

q ' = 363 - 298   K 2,45   x   10 - 3 + 1,65   x   10 - 3 + 18,87   x   10 - 3   m . K . W - 1

q ' = 2,83   k W . m - 1  

Resposta

a O circuito térmico é dado abaixo:

b q ' = 2,83   k W . m - 1

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