Exercícios Resolvidos de Conjunto de Aletas

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Enunciado

Como mais e mais componentes são colocados em um circuito integrado individual (chip), a quantidade de calor que é disputado tende a aumentar. Por outro lado, esse aumento está limitado pela temperatura máxima permitida de operação do chip, que é aproximadamente 75 o C . Para maximizar a dissipação de calor, propõe-se utilizar uma matrix 4 x 4 de aletas de cobre ( k = 400   W . m - 1 . K - 1 ) em forma de pino que podem ser fixadas através de processos metalúrgicos a superfície externa de um chip quadrado de 12,7   m m de lado.

Condições: k b = 1   W . m - 1 . K - 1 , h e = 1000   W . m - 2 . K - 1 , T ∞ , e = 20   O C , h i = 40   W . m - 2 . K - 1 , T ∞ , i = 20   O C e L b = 5   m m .

a Esboce o circuito térmico equivalente para a montagem pino-placa, considerando condições de estado estacionário unidimensional e resistência de contato desprezível entro os pinos e o chip. Na forma de variáveis, enumere as resistências apropriadas, temperaturas e taxas de calor.

b Para as condições prescritas anteriormente, qual é a máxima taxa na qual o calor pode ser dissipado no chip quando os pinos estão no lugar? Isto é, qual é o valor de q c para T c = 75 C ? O diâmetro e o comprimento do pino são respectivamente D p = 1,5   m m e L p = 15   m m .

Passo 1

a Esboce o circuito térmico equivalente para a montagem pino-placa, considerando condições de estado estacionário unidimensional e resistência de contato desprezível entro os pinos e o chip. Na forma de variáveis, enumere as resistências apropriadas, temperaturas e taxas de calor.

A situação pode ser ilustrada com esse esquema aqui embaixo:

A gente sabe, pelo enunciado, que o calor que e gerado no chip será dissipado, tanto para a região externa quanto para a região interna.

Nesse caso, temos 16 aletas perdendo calor para o ambiente externo, além da área da base que também perde calor por convecção. Diante disso, é como se houvesse dois mecanismos em paralelo e o circuito pode ser representado da seguinte forma:

Em que:

R c v , e = 1 h e . A b                 ;               R c d = L b k b . A c                 ;               R c v , i = 1 h i . A c                     ;                   R a , t = 1 η a . h e . A t

Passo 2

b Para as condições prescritas anteriormente, qual é a máxima taxa na qual o calor pode ser dissipado no chip quando os pinos estão no lugar? Isto é, qual é o valor de q c para T c = 75 C ? O diâmetro e o comprimento do pino são respectivamente D p = 1,5   m m e L p = 15   m m .

Fazendo um balanço de energia na superfície do chip, a gente pode escrever que:

E ˙ e = E ˙ s

q c = q i + ( q a + q b )

Em que:

  • q c é a taxa de calor proveniente o chip.
  • q a é a taxa de calor dissipada pelo conjunto de aletas.
  • q b é a taxa de calor dissipada pela base do sistema para o ambiente externo.
  • q i é a taxa de calor dissipada para o ambiente interno.

Passo 3

Bora agora calcular cada uma dessas taxas. Começando pela taxa de calor q i , podemos expressá-la em termos das resistências:

q i = T c - T ∞ , i R c d + R c v , i

Calculando as resistências...

R c d = L b k b . A c

R c d = 0,005   m 1   W . m - 1 . K - 1 . 0,0127   m 2

R c d = 31   K . W - 1

Para a resistência de convecção interna:

R c v , i = 1 h i . A c

R c v , i = 1 40   W . m - 2 . K - 1 . 0,0127   m 2

R c v , i = 155   K . W - 1

Dessa maneira, temos que:

q i = 348 - 293   K 31 + 155   K . W - 1

q i = 0,296   W

Passo 4

Bora calcular agora a taxa de calor dissipada pela base da aleta ( q b )!

Como é uma taxa de convecção, temos que:

q b = T b - T ∞ R c v , e

q b = h e . A b . ( T b - T ∞ )

A área de troca térmica será toda essa região em vermelho/rosa mais escuro, pois é a região que não foi ocupada por aletas:

Então, a gente fica com:

A b = 0,0127   m 2 - 16 . π . 0,0015   m 2 4

A b = 1,33   x   10 - 4   m 2

Sendo assim:

q b = 1000   W . m - 2 . K - 1 . 1,33   x   10 - 4   m 2 . 348 - 293   K

q b = 7,315   W

Passo 5

Agora, finalmente, bora calcular a taxa de calor dissipada pelo conjunto de aletas ( q a ).

Em termos da resistência do sistema aletado:

q a = T b - T ∞ R a , t

q a = η a . h e . A t . ( T b - T ∞ )

Dessa equação, a gente só precisa determinar a eficiência da aleta ( η a ) – via gráfico - e calcular a área total ( A t )!

Ou a gente pode usar direto a equação da taxa que temos na tabela. Como essa situação se enquadra no caso A (convecção na extremidade), a expressão da taxa é dada por:

q a = 16 . M . s e n h   m L + h e m . k . cosh ⁡ m L cosh ⁡ m L + h e m . k . senh ⁡ m L

O número 16 multiplicando a expressão representa o número de aletas no sistema e:

M = h e . P . k . A c . T b - T ∞                         e                         m = h e . P k . A c

Sendo assim:

M = h e . P . k . A c . T b - T ∞           →       M = h e . ( π . D p ) . k . π . D p 2 4 . T b - T ∞

M = π 2 . h e . k . D p 3 . T b - T ∞

M = π 2 . 1000 W m 2 . K . 400 W m . K . 0,0015   m 3 . 55   K

M = 3,174   W

Além disso:

m = h e . P k . A c           →           m = 4 .   h e . π . D p k . π . D p 2               →           m = 4 .   h e k . D p

          m = 4 .   1000   W . m - 2 . K - 1 400   W . m - 1 . K - 1 . 0,0015   m

m = 81 , 65

Utilizando L = 0,015   m e os valores calculados na expressão, a gente fica com:

q a = 16 . 3,174   W . 1,5 6 + 0,0306 . 1,8 5 1,8 5 + 0,0306 . 1,5 6

q a = 43,2 6   W

Passo 6

Pelo balanço de energia:

q c = q i + q a + q b

q c = 0,296   W + 43,2 6   W + 7,315   W

q c = 50,8 7   W

Resposta

  1. O circuito térmico é dado abaixo:
  2. A taxa de calor máxima do chip deve ser:

q c = 50,8 7   W

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