Exercícios Resolvidos de Conjunto de Aletas

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Enunciado

Passagens alteradas são formadas frequentemente entre placas paralelas para elevar a transferência de calor por convecção em matrizes compostas de trocadores de calor. Uma aplicação importante encontra-se em resfriamento de equipamentos eletrônicos, em que um ou mais canais de ar resfriado são colocados entre componentes elétricos que dissipam calor. Considere um canal simples de aletas retangulares de comprimento L e espessura t , com condições de convecção correspondentes a h e T ∞ .

a Obtenha expressões para as taxas de transferência de calor da aleta ( q a , 0 e q a , L ) em função das temperaturas da base ( T 0   e T L ).

b Em uma aplicação específica, um canal com 200   m m de largura e 100   m m de profundidade contém 50 aletas, casa uma com comprimento L =   12   m m . O canal é feito em alumínio ( k = 240   W . m - 1 . K - 1 ) com 1,0   m m de espessura ao longo de sua extensão. Se as limitações de temperaturas associadas com os componentes elétricos fixados no lado oposto da placa estabelecem a máxima temperatura permitida na placa T 0 =   400 K e T L = 350   K , quais são as potências dissipadas correspondentes de h   =   100   W . m - 2 . K - 1   e T ∞ = 300   K ?

Passo 1

a Obtenha expressões para as taxas de transferência de calor da aleta ( q a , 0 e q a , L ) em função das temperaturas da base ( T 0   e T L ).

A solução geral para a distribuição de temperatura é dada por:

θ x = C 1 . e m . x + C 2 . e - m . x

A gente pode propor as seguintes condições de contorno:

θ 0 =   T 0 - T ∞ = θ 0                         e                       θ L = T L - T ∞ = θ L

Substituindo na equação:

θ 0 = C 1 + C 2                           e                             θ L = C 1 . e m . L + C 2 . e - m . L

Dessa maneira:

θ L = C 1 . e m . L + θ 0 - C 1 . e - m . L

C 1 = θ L - θ 0 . e - m . L e m . L - e - m . L

E, substituindo essa expressão de C 1 na equação, a gente consegue achar ainda a constante C 2 :

C 2 = θ 0 - θ L - θ 0 . e - m . L e m . L - e - m . L

C 2 = θ 0 . e m . L - θ L e m . L - e - m . L

Finalmente, temos que o perfil de temperatura é dado por:

θ x = θ L - θ 0 . e - m . L e m . L - e - m . L . e m . x + θ 0 . e m . L - θ L e m . L - e - m . L . e - m . x

Reorganizando:

θ x = θ L . e m . x - e - m . x - θ 0 . e m . ( L - x ) - e - m . ( L - x ) e m . L - e - m . L

Ou, em termos de funções trigonométricas hiperbólicas:

θ x = θ L . s e n h ( m . x ) - θ 0 . s e n h [ m . L - x ] s e n h ( m . L )

Passo 2

Para encontrar a taxa de calor da aleta, vamos usar a equação de Fourier:

q a = - k . A c .   d θ x d x

Então, a gente precisa da derivada do perfil de temperatura. Bora calcular então:

d θ x d x = θ L . m . c o s h m . x - θ 0 . m . c o s h [ m . L - x ] s e n h ( m . L )

A área A c pode ser calculada como:

A c = D . t

Substituindo essas expressões na equação de Fourier:

q a = - k . D . t . θ L . m . c o s h m . x - θ 0 . m . c o s h ⁡ [ m . L - x ] s e n h m . L

Na posição x = 0 , temos:

q a , 0 = - k . D . t . θ 0 . m t a n h m . L - θ L . m s e n h m . L

Na posição x = L , temos:

q a , L = - k . D . t . θ 0 . m s e n h m . L - θ L . m t a n h m . L  

Passo 3

b Em uma aplicação específica, um canal com 200   m m de largura e 100   m m de profundidade contém 50 aletas, casa uma com comprimento L =   12   m m . O canal é feito em alumínio ( k = 240   W . m - 1 . K - 1 ) com 1,0   m m de espessura ao longo de sua extensão. Se as limitações de temperaturas associadas com os componentes elétricos fixados no lado oposto da placa estabelecem a máxima temperatura permitida na placa T 0 =   400 K e T L = 350   K , quais são as potências dissipadas correspondentes de h   =   100   W . m - 2 . K - 1   e T ∞ = 300   K ?

Para calcular as taxas, a gente precisa determinar o valor de m , então bora lá:

m = h . P k . A c

m = h . ( 2 . D + 2 . t ) k . ( D . t )

Substituindo os valores

m = 100   W . m - 2 . K - 1 . 2 . 0,1   m + 0,001   m 240   W . m - 1 . K - 1 . 0,1   m . 0,001   m

m = 29   m - 1

Assim, o produto m . L vale:

m . L = 29   m - 1 . 0,012   m

m . L = 0,348

Dessa maneira, na posição x = 0 , temos:

q a , 0 = - 240   W . m - 1 . K - 1 . 0,1   m . 0,001   m . 100   K . ( 29   m - 1 ) t a n h 0,348 - 50   K . ( 29   m - 1 ) s e n h 0,348

q a , 0 = - 110   W

Dessa maneira, na posição x = L , temos:

q a , L = - 240   W . m - 1 . K - 1 . 0,1   m . 0,001   m . 50   K . ( 29   m - 1 ) s e n h 0,348 - 50   K . ( 29   m - 1 ) t a n h 0,348

q a , L = - 92   W

Resposta

a

θ x = θ L . s e n h ( m . x ) - θ 0 . s e n h [ m . L - x ] s e n h ( m . L )

q a , 0 = - k . D . t . θ 0 . m t a n h m . L - θ L . m s e n h m . L

q a , L = - k . D . t . θ 0 . m s e n h m . L - θ L . m t a n h m . L

b q a , 0 = - 110   W               e               q a , L = - 92   W

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