Exercícios Resolvidos de Conjunto de Aletas

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Enunciado

O motor cilíndrico de uma moto é constituído por alumínio 2024 - T 6 ( k = 186   W . m - 1 . K - 1 ) e tem uma altura de H = 0,15   m com diâmetro de D = 50   m m . Sob condições normais de operação, a superfície externa do cilindro encontra-se a uma temperatura de 500   K e é exposta ao ar ambiente, cuja temperatura vale 300   K e cujo coeficiente de convecção é 50   W . m - 2 . K - 1 . Aletas anulares são integradas ao corpo cilíndrico do motor para aumentar a transferência de calor para a vizinhança.

Considere cinco aletas anulares com espessura de t = 6   m m , comprimento de L = 20   m m e que estão igualmente espaçadas. Qual o aumento percentual na perda de calor ao utilizarmos as aletas?

Passo 1

Aqui a gente vai verificar se colocar aletas realmente é um bom negócio! Vem comigo então!

Caso não houvesse aletas, teríamos um cilindro trocando calor com o ambiente. Sendo assim, a taxa de calor seria calculada por:

q c i l = h . A c i l . θ b

A área do cilindro é dada por:

A c i l = 2 π . r 1 . H

A c i l = 2 π . 0,025   m . 0,15   m

A c i l = 0,0236   m 2

Sendo assim, a gente tem que:

q c i l = 50   W . m - 2 . K - 1 . 0,0236   m 2 . 500 - 300   K

q c i l = 236   W

Passo 2

Agora é a situação com as aletas! A taxa de calor trocada por um conjunto de aletas ( q t ) é dada por:

q t = η t . h . A t . θ b

Em que:

η t = 1 - N . A a A t . ( 1 - η a )

A área superficial de uma aleta anular é dada por:

A a = 2 . π . r 2 c 2 - r 1 2

A a = 2 π . 0,048   m 2 - 0,025   m 2

A a = 0,0105   m 2

A área total do sistema “aleta+base” é dada por:

A t = N . A a + 2 π . r 1 . ( H - N . t )

A t = 5 . 0,0105   m 2 + 2 π . 0,025   m . 0,150   m - 5 . 0,030   m

A t = 0,071   m 2

Passo 3

Agora nos resta calcular o rendimento de uma aleta única ( η a ). Bora usar o gráfico (no capítulo anterior) pra isso:

Então, a gente precisa calcular a razão entre r 2 c e r 1 pra saber qual das quatro curvas usar e determinar o valor da abscissa!

Bora calcular o valor de x do gráfico então:

x = L c 3 / 2 . h k . A p 1 / 2

Em que L c e A p são calculados pelas expressões mostradas no gráfico:

L c = L + t 2  

L c = 0,020   m + 0,006   m 2

L c = 0,023   m

Além disso:

A p = L c . t

A p = 0,023   m . ( 0,006   m )

A p = 1,38   x   10 - 4   m ²

Ufa! Agora a gente pode finalmente calcular o valor de x:

x = 0,023   m 3 / 2 . 50   W . m - 2 . K - 1 186   W . m - 1 . K - 1 . 1,38   x   10 - 4   m 2 1 / 2

x = ~ 0,154

Pra saber qual das curvas serve pra gente, precisamos calcular a razão entre os raios:

r 2 c r 1 = 0,125   m 0,075   m                     →                             r 2 c r 1 = ~ 1,92

Não tem nenhuma curva com esse valor, mas a gente pode colocar mais ou menos entre as curvas de razão igual a 1 e 2 , um pouco mais próximo da curva de 2 .

Agora a gente já pode marca no gráfico a posição da abscissa e ver que a eficiência da aleta é aproximadamente:

η a = 0,98

Passo 4

Dessa maneira, é possível calcular a eficiência do sistema aletado e consequentemente a taxa de calor:

q t = η t . h . A t . θ b

q t = 1 - N . A a A t . ( 1 - η a ) . h . A t . θ b

Substituindo os valores do enunciado:

q t = 1 - 5 . 0,0105   m 2 0,0716   m 2 . 1 - 0,98 . 50   W . m - 2 . K - 1 . 0,071   m 2 . 500 - 300   K

q t = 690   W

Passo 5

Com as duas taxas calculadas a gente pode determinar o aumento percentual na perda e calor ao usarmos o sistema de aletas:

A = 690   W - 236   W 236   W . 100 %

A = 192,4   %

Esse valor é realmente relevante! Acho que ficou provado que as aletas ajudam bastante na troca de calor, não é mesmo?

Resposta

A = 192,4   %

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