Exercícios Resolvidos de Convecção Livre

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Enunciado

Uma esfera de 1   m m de diâmetro de aço inoxidável 316 está a 600 K . A esfera foi posta para esfriar em meio ao ar em um ambiente inicialmente quiescente.

A temperatura do ar é 275 K , a pressão é a pressão ambiente. As propriedades do ar podem ser aproximadas pelas propriedades do ar, como gás ideal, a 275 K .

Determine quanto tempo levará para que o interior (centro) da esfera esfrie até a temperatura de 298 K .

Passo 1

Antes de avaliarmos qual é o melhor método para calcular o tempo necessário para que o centro da esfera se resfrie, precisamos calcular o número de Biot, dado por:

B i = h D - . L c k = h D - . D 6 k

Onde, de acordo com a tabela A.6, para a temperatura de 600   K :

k = 18,3   W / ( m . K )

c p = 550   J / ( k g . K )

ρ = 8238   k g / m 3

Pra calcular o número de Biot, vamos precisar calcular o coeficiente convectivo dessa bagaça.

Passo 2

Esse se trata de um problema de convecção livre, onde as propriedades do ar, de acordo com a tabela A.4 do Incropera, considerando a temperatura de 275   K será dada por:

k = 0,0242   W / ( m . K )

υ = 13,67 × 10 - 6   m 2 / s

α = 19,2 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,7 13

Para o valor de β , devemos considerar a temperatura de filme, dada por:

T f = T ∞ + T s 2

Como a temperatura superficial também irá variar, vamos considera-la como a média entre as temperaturas inicial de final da esfera.

T s = 600 + 298 2 = 449   K

β = 1 T f = 1 449 = 2,23 × 10 - 3   K - 1

Agora podemos seguir em frente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente convectivo médio através do número de Nusselt.

h - D = N u - D . k D

Nesse caso, como estamos trabalhando com uma esfera, o n��mero de Nusselt é dado por:

N u - D = 2 + 0,589 . R a D 1 / 4 1 + 0,469 P r 9 / 16 4 / 9

Onde o número de Rayleigh é dado por:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 α υ

Substituindo os valores:

R a D = 9,8 × 3,63 × 10 - 3 × 449 - 275 × 0,001 3 19,2 × 10 - 6 × 13,67 × 10 - 6 → R a D = 23,6

Substituindo na expressão do número de Nusselt:

N u - D = 2 + 0,589 × 23,6 1 / 6 1 + 0,469 0,7 13 9 / 16 4 / 9 → N u - D = 2,77

Finalmente o coeficiente convectivo será:

h - D = 2,77 × 0,0242 0,0 01 → h - = 67,03     W / ( m 2 . K )

Passo 4

Assim, o número de Biot será:

B i = h D - . D 6 k = 67,03 × 0,001 6 × 18,3

B i = 6,1 × 10 - 4 < 0,1

Opa! Com esse valor, podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados. De acordo com esse método, o tempo necessário para resfriar a esfera será:

t = ρ . V . c p h D - . A . ln ⁡ T i - T ∞ T t - T ∞

Onde a razão V / A vale:

V A = 4 π r 3 3 4 π r 2 = r 3 = D 6

Logo:

t = ρ . D . c p 6 . h D - . ln ⁡ T i - T ∞ T t - T ∞

t = 8238 × 0,001 × 550 6 × 67,03 × ln ⁡ 600 - 275 298 - 275

Resposta

t = 29,8   s

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