Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Passo 1

Essa questão aqui é clássica de curvas polares. Ou seja, o enunciado vai te dar uma curva já escrita em curvas polares e te pedir alguma integral.

O difícil aqui é pegar esse informação e transformar em

? ≤ r ≤   ?

? ≤ θ ≤   ?

Pra isso a gente tem que lembrar da mudança original para coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Onde r é a distância de algum ponto até a origem 0,0 e o ângulo θ é aquele da trigonometria mesmo, que começa no eixo x e roda de 0 até 2 π , assim:

Sabendo isso, como queremos a região interior a r = 12 cos ⁡ 3 θ , os limites de r são

0 ≤ r ≤ 12 cos ⁡ 3 θ

Ué, mas por que r começa em 0 ?

Dá pra identificar isso procurando se a curva passa na origem. Como no nosso esboço do enunciado ela passa e queremos todo o interior da curva, podemos dizer que o raio começa em zero.

Passo 2

Mas então e os limites de θ , como a gente faz? Como usamos a tal simetria que o enunciado deu de dica?

A simetria que ele fala é a seguinte:

Temos seis regiões com a mesma área! Então só precisamos analisar uma delas e multiplicar por 6 !

Vou dar um zoom aqui na região I então

Percebe que a curva vai de 0,0 até 12,0 . Não só isso, analisando melhor o r , que é a distância até a origem, temos que

r = 0

r = 12

É muito importante lembrar que esse zoom que dei foi no primeiro quadrante! Então só estamos pensando em 0 ≤ θ ≤ π / 2

r = 12 cos ⁡ 3 θ

r = 0 → 0 = 12 cos ⁡ 3 θ

cos ⁡ 3 θ = 0

3 θ = π 2

θ = π 6

r = 12 → 12 = 12 cos ⁡ 3 θ

cos ⁡ 3 θ = 1

3 θ = 0

θ = 0

Logo

0 ≤ θ ≤ π 6

Passo 3

Juntando tudo que temos na integral de área dos seis pedaços simétricos, ficamos com

A T = 6 ∬ R 1 d A

Não se esqueça do jacobiano de coordenada polar que vale r , temos:

A T = 6 ∫ 0 π 6 ∫ 0 12 cos ⁡ ( 3 θ )   r d r d θ

Passo 4

Integrando em r

= 6 ∫ 0 π 6 r 2 2 0 12 cos ⁡ 3 θ d θ

= 3 ∫ 0 π 6 144 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Para integrar em θ , precisamos lembrar da relação trigonométrica que diz

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

cos 2 ⁡ 3 θ = 1 + cos ⁡ 6 θ 2

Voltando pra integral

= 432 ∫ 0 π 6 1 + cos ⁡ 6 θ 2 d θ

= 432 2 ∫ 0 π 6 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

Agora sim podemos integrar em θ

= 216 θ + sen ⁡ 6 θ 6 0 π 6

= 216 π 6 + sen ⁡ π 6 - 0 + sen ⁡ 0 6

Como sen ⁡ π = sen ⁡ 0 = 0 , temos que

A T = 216 π 6

A T = 36 π

Resposta

36 π

Exercícios de Livros Relacionados

Cardioide no primeiro quadrante: Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela cardioide r=1+s e n ( θ ) .
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2 2 - s e n 2 θ 1 2 .
Uma pétala de rosa: Encontre a área delimitada por uma pétala da rosa r=12c o s( 3 θ ) .
Concha de caracol: Encontre a área da região delimitada pelo eixo x positivo e a espiral r= 4 θ 3 ,0≤ θ≤2 π . A região se assemelha a uma concha de caracol.
Encontre a área da região comum aos interiores das cardioides r=1+c o s ⁡ ( θ ) er=1–c o s ⁡ ( θ ) .