Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Calcule as integrais para as regiões D indicadas:

e)

∫ ∫ 2 x - y d A D

D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla para região D :

∫ ∫ 2 x - y d A D

Onde D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 .

Perceba que como a região é um círculo com raio 2 , podemos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Para coordenadas polares, temos x = r c o s ( θ ) e y = r s i n ( θ ) , onde r varia de 0 a 2 , e θ varia de 0 a 2 π .

Dessa forma, temos a nossa integral dupla:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ r d r d θ

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a d r ,vamos pegar essa integral:

∫ 0 2 2 r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ r d r = ∫ 0 2 2 r 2 cos ⁡ θ d r - ∫ 0 2 r 2 sin ⁡ θ d r ∴

= cos ⁡ θ 2 r 3 3 - sin ⁡ θ r 3 3 2 0 ∴

= 16 3 cos ⁡ θ - 8 3 sin ⁡ θ

Agora, integrando em relação a d y :

∫ 0 2 π 16 3 cos ⁡ θ - 8 3 sin ⁡ θ d θ ∴

∫ 0 2 π 16 3 cos ⁡ θ d θ - ∫ 0 2 π 8 3 sin ⁡ θ d θ ∴

= 16 3 sin ⁡ θ + 8 3 cos ⁡ θ 2 π 0 ∴  

= 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

0

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