Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Calcule:

b) ∬ D 4 - x 2 - y 2   d A , onde D = x ,   y |   x 2 + y 2 ≤ 4 ,     x ≥ 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região D . E a região D é a área acima do eixo x ( x ≥ 0 ) e dentro da circunferência de raio 2 , centrada na origem, x 2 + y 2 = 4 . Ou seja, a nossa região em amarelo:

Como a gente tem essa geometria circular, fica mais fácil calcular nossa integral usando as coordenas polares, que são convertidas de acordo com as equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r s in ⁡ θ

J = r

Assim, a gente percebe que nossa região tem um ângulo de variação θ , no intervalo [ 0 ,   π ] . E o nosso raio varia desde a origem até a borda da circunferência, ou seja, 0 ≤ r ≤ 2 . Então, vamos fazer essas substituições na nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

∬ D 4 - x 2 - y 2   d A

Substituindo os intervalos de integração e as equações de transformação que vimos no passo 1 , temos:

∫ 0 π ∫ 0 2 4 - r cos ⁡ θ 2 - r sin ⁡ θ 2   r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 2 4 - r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )   r d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 2 4 - r 2   r d r d θ

Passo 3

Pra calcular essa integral, vamos fazer:

u = 4 - r 2

d u = - 2 r   d r → r   d r = - d u 2

r = 0 → u = 4

r = 2 → u = 0

Substituindo na integral:

∫ 0 π ∫ 4 0 - u 2 d u d θ

Como a gente tem um limite inferior maior do que o limite superior na integral de dentro, vamos inverter eles, invertendo também o sinal:

= 1 2 ∫ 0 π ∫ 0 4 u d u d θ

Integrando primeiro em relação a u :

1 2 ∫ 0 π 2 3 u 2 / 3 0 4 d θ

Aplicando os intervalos de integração em u :

1 2 ∫ 0 π 2 3 4 3 - 2 3 0 3 d θ

= 1 2 ∫ 0 π 16 3 d θ = 8 3 ∫ 0 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

8 3 θ 0 π

E aplicando os limites de integração em θ :

8 3 π - 0

= 8 π 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

8 π 3

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