Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Calcule:

a) ∬ D cos ⁡ ( x 2 + y 2 )   d A , onde D é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região D . E a região D é a área acima do eixo x e dentro da circunferência de raio 3 , centrada na origem, x 2 + y 2 = 9 . Ou seja:

Como a gente tem essa geometria circular, fica mais fácil calcular nossa integral usando as coordenas polares, que são convertidas de acordo com as equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r s in ⁡ θ

J = r

Assim, a gente percebe que nossa região tem um ângulo de variação θ , no intervalo [ 0 ,   π ] . E o nosso raio varia desde a origem até a borda da circunferência, ou seja, 0 ≤ r ≤ 3 . Então, vamos fazer essas substituições na nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

∬ D cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

Substituindo os intervalos de integração e as equações de transformação que vimos no passo 1 , temos:

∫ 0 π ∫ 0 3 cos ⁡ r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2   r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 3 cos ⁡ r 2   r d r d θ

Passo 3

Pra calcular essa integral, vamos fazer:

u = r 2

2 r   d r = d u → r   d r = d u 2

r = 0 → u = 0

r = 3 → u = 9

Substituindo na integral:

∫ 0 π ∫ 0 9 cos ⁡ u d u 2   d θ

= 1 2 ∫ 0 π ∫ 0 9 cos ⁡ u d u d θ

Integrando primeiro em relação a u :

1 2 ∫ 0 π sin ⁡ ( u ) 0 9 d θ

Aplicando os intervalos de integração em u :

1 2 ∫ 0 π sin ⁡ ( 9 ) - sin ⁡ ( 0 ) d θ

= 1 2 sin ⁡ ( 9 ) ∫ 0 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

1 2 sin ⁡ ( 9 ) θ 0 π

E aplicando os limites de integração em θ :

1 2 sin ⁡ ( 9 ) π - 0

= π 2 sin ⁡ ( 9 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 2 sin ⁡ ( 9 )

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