Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

x 2 + y 2 2 = 2 a 2 ( x 2 - y 2 )

A Lemniscata é a figura geométrica com a forma de uma hélice, similar ao numeral 8 e ao símbolo de infinito . Pode ser descrita por coordenadas polares:

r 2 = a 2 cos 2 ⁡ 2 θ

Calcular a área dentro da Lemniscata:

Sabendo que no primeiro quadrante deve-se considerar 0 ≤ r ≤ 3 . cos ⁡ 2 θ e 0 ≤ θ ≤ π / 4 .

Passo 1

Essa seria uma questão bastante complicada, mas por sorte o enunciado já deu os limites de integração.

Como os dois “lados” da figura são iguais, é suficiente calcular a área de um deles, para então multiplicá-la por dois.

Como queremos calcular uma área, nosso objetivo é montar uma integral como essa:

A = ∬ R d A

Ou seja, precisamos achar d A e R .

Passo 2

A região R fica definida pelos limites de integração, mas como dissemos antes, eles já foram dados pela questão:

0 ≤ r ≤ 3 . c o s ⁡ ( θ )

0 ≤ θ ≤ π / 4

E o d A depende do sistema de coordenadas que estamos usando! No caso de coordenadas cartesianas, seria:

d A = d x   d y

Mas nas coordenadas polares, precisamos considerar o jacobiano, que no caso das coordenas polares dá:

d A = r . d r . d θ

Agora já podemos substituir isso tudo na integral:

A = ∬ R d A = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 3   c o s ⁡ ( θ ) r   d r   d θ

E se resolvermos essa integral, teremos a área de um dos lados daquela figura.

Passo 3

Começamos integrando o r :

A = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 3   c o s ⁡ ( θ ) r   d r   d θ = ∫ 0 π / 4 3 . cos ⁡ θ 2 2 - 0 2 2 d θ

A = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 3   c o s ⁡ ( θ ) r   d r   d θ = ∫ 0 π / 4 9 cos 2 ⁡ θ 2 d θ

Agora vamos arrumar essa integral antes de resolvê-la:

A = 9 2   ∫ 0 π / 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Calcular a integral do cos 2 ⁡ ( θ ) exige uma identidade trigonométrica muito importante:

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2

Vamos ver como fica a integral (indefinida) de disso:

∫ cos 2 ⁡ ( x )   d x = ∫ 1 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2   d x = ∫ 1 2 d x + 1 2 ∫ c o s ⁡ ( 2 x ) d x

E essas duas integrais são bem mais fáceis!

∫ 1 2 d x = 1 2 x + C 1

1 2 ∫ c o s ⁡ ( 2 x ) d x = 1 4 sen ⁡ ( 2 x ) + C 2

Então:

∫ cos 2 ⁡ ( x )   d x = 1 2 x + 1 4 sen ⁡ ( 2 x ) + C

Substituindo os limites de integração:

A = 9 2   ∫ 0 π / 4 cos 2 ⁡ θ d θ

A = 9 2 1 2 π 4 + 1 4 sen ⁡ 2 . π 4 - 1 2 0 + 1 4 sen ⁡ 2.0

Agora vamos arrumar um pouco essa equação:

A = 9 2 π 8 + 1 4 sen ⁡ π 2 - 1 4 sen ⁡ 0

A = 9 2 π 8 + 1 4 = 9 2 π + 2 8  

Ou seja:

A = 9 2 π + 2 8

Passo 5

Agora só precisamos lembrar do que falamos antes: essa área que foi calculada é só de uma metade de figura. A área que a questão pediu é, na verdade, o dobro dessa:

A ' = 2 A

A ' = 9 8 ( π + 2 )

Pronto!

Resposta

A área dentro da Lemniscata é 9 8 ( π + 2 ) .

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