Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Calcule a área da região representada pelo gráfico em coordenadas polares.

Passo 1

Quando queremos usar uma integral para calcular uma área, temos que montar essa expressão aqui:

A = ∬ R d A

Quando queremos montar em coordenadas polares, acontecem duas coisas.

Primeiro, precisamos achar os limites em que variam as coordenadas r (o raio) e θ (o ângulo que o raio forma com o eixo x .

Segundo, precisamos usar o jacobiano para escrever aquele d A . É uma boa ideia ter isso decorado. No caso das coordenadas polares:

d A = r   d r   d θ

Passo 2

Beleza, vamos então calcular os limites de integração de cada variável.

O θ é mais fácil de visualizar. Lembre sempre que esse é o ângulo em relação ao eixo x , medido no sentido anti-horário.

Olhando para a imagem, a nossa região começa só quando já andamos um ângulo π ( 180 ° ), e termina só quando chegamos no final do ciclo, fazendo um ângulo de 2 π ( 360 ° ), ou seja:

π < θ < 2 π

Passo 3

A gente também pode achar os limites de integração do r só olhando a imagem. Para cada valor fixo de θ , o raio (distância até a origem) de cada ponto da nossa região varia em:

4 ≤ r ≤ 7

Passo 4

Então pronto, podemos juntar todas essas informações para montar a nossa integral da área:

A = ∬ R d A

A = ∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r   d θ

E agora vamos calcular essa integral. Primeiro integramos em relação a r , nesse caso a integral indefinida é r 2 / 2 :

A = ∫ π 2 π 7 2 2 - 4 2 2   d θ

A = ∫ π 2 π 49 2 - 16 2   d θ

A = ∫ π 2 π 33 2   d θ = 33 2 π - π 2 = 33 π 2

Resposta

A área da região é A = 33 π / 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

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