Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

CEFET - Cálculo 2 - P2 Pericles 2014.2 – 4

Ache a massa da lâmina na forma da região exterior à limaçon r = 3 - cos θ e interior à circunferência r = 5 cos θ , se a densidade de massa por unidade de àrea em qualquer ponto for 2 s e n   θ k g / m 2 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho dessa região para entender melhor o que está acontecendo.

O esboço das regiões é esse aqui em baixo: Mas na prática você não precisa saber desenhar isso (ninguém sabe desenhar uma limaçon haha)

O que o problema pede é então o seguinte:

M = D   ρ x , y d x d y

Onde D é a região em cinza que vimos na figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos descrever a região. E como o problema já nos dá as equações em coordenadas polares, vamos usar coordenadas polares né.

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

Já temos a função densidade de área em coordenadas polares também, então a integral fica o seguinte:

M = R   2 s e n   θ r d r d θ

Pela figura, vemos que r varia desde a equação da circunferência vermelha r = 3 - cos θ até a da azul r = 5 cos θ . Agora falta descobrir o intervalo de θ , para isso, vamos fazer a interseção entre as duas curvas:

r = 3 - cos θ = 5 cos θ

6 cos θ = 3

cos θ = 1 2

θ = ± π 3

Assim, sabemos que - π 3 θ π 3 e a integral fica:

M = 2 - π / 3 π / 3 3 - cos θ 5 cos θ s e n   θ r d r d θ

Ou podemos escrever:

M = 4 0 π / 3 3 - cos θ 5 cos θ s e n   θ r d r d θ

Por causa da simetria da figura.

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral ai, começando integrando em relação a r :

= 2 0 π / 3 s e n   θ r 2 3 - cos θ 5 cos θ d θ =

= 2 0 π / 3 s e n   θ ( 25 cos 2 θ - 9 + 6 cos θ - cos 2 θ ) d θ =

= 2 0 π / 3 s e n   θ ( 24 cos 2 θ - 9 + 6 cos θ ) d θ =

Como o seno é positivo para os valores de θ da integral, podemos retirar esse módulo sem problemas:

= 2 0 π / 3 24 sin θ cos 2 θ - 9 sin θ + 6 sin θ cos θ d θ =

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a θ .

= 2 - 8 cos 3 θ + 9 cos θ - 3 cos 2 θ 0 π / 3 =

= 2 - 8 8 + 9 2 - 3 4 + 8 - 9 + 3 =

= 9.5

Resposta

9.5

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