Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

USP - Cálculo 3 - P1 - 2015 - 1a

Calcule a área de um laço da rosácea cuja equação em coordenadas polares é r θ = cos 5 θ .

Passo 1

Bom, para você ter uma ideia, essa rosácea é assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas a questão pede a área de apenas um laço. Bom, tá na cara que é para usarmos coordenadas polares, né? O problema já deu a curva na forma polar.

Então vamos pensar nos intervalos. O de r é fácil, o raio varia desde a origem até a curva r = cos 5 θ , logo, 0 r cos 5 θ .

O de θ temos que pensar um poquinho. O que “define” uma pétala não é a curva passar pela origem. Digo, toda vez que ela vai e volta para a origem temos uma nova pétala. E a curva passa pela origem cada vez que o raio se anula, não é?

Então o intervalo de θ que marca uma pétala é aquele que faz r = 0 duas vezes.

r = cos 5 θ = 0

5 θ = π 2 ; 3 π 2

Os dois primeiros valores de θ que fazem r = 0 são, portanto:

θ = π 10

θ = 3 π 10

Logo, π 10 θ 3 π 10 .

Passo 3

Agora vamos montar ai integral com o que encontramos:

A = D   d A = π 10 3 π 10 0 cos 5 θ r   d r d θ

Não se esqueça desse r do Jacobiano!

Passo 4

Agora vamos integrar isso ái

A = π 10 3 π 10 r 2 2 0 cos 5 θ d θ

A = 1 2 π 10 3 π 10 cos 2 5 θ d θ

Agora precisamos usar essa identidade

cos 2 t = 1 + cos 2 t 2

Aplicando ao nosso problema, temos:

A = 1 2 π 10 3 π 10 1 + cos 10 θ 2 d θ

A = 1 4 π 10 3 π 10 1 + cos 10 θ d θ

A = 1 4 θ + 1 10 s e n 10 θ π 10 π 3 10 =

A = 1 4 2 π 10

A = π 20

Resposta

A = π 20

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