Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2015.1 - 1

Seja A R 2 o conjunto limitado pela curva plana com parametrização dada por :

σ θ = 2 + s e n 4 θ cos θ , 2 + s e n 4 θ sen θ ,   θ 0,2 π

(veja figura 1). Determine a área de A .

Passo 1

Bom, a área de uma região plana A é dada por:

Á r e a = A   d x d y

Agora só precisamos escrever essa região A na integral.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar coordenadaspolares por causa dessess senos e cossenos, ok?

Vamos pensar um pouquinho, as coordenadas polares nos dão que:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

Portanto, a parametrização de uma curva em coordenadas polares seria dada por:

σ θ = r cos θ , r sen θ

Onde r é constante ou função de θ , isso porque, como sabemos, uma curva deve ter um parâmetro! Então, na verdade é isso aqui:

σ θ = r ( θ ) cos θ , r ( θ ) sen θ

Comparando com a curva do problema

σ θ = 2 + s e n 4 θ cos θ , 2 + s e n 4 θ sen θ

Nós tiramos que

r θ = 2 + s e n 4 θ

Onde 0 θ 2 π . Percebeu?

Então, se a curva é dada, em coordenadas polares, por essa equação; Como podemos dizer que, para a área A , r varia desde a origem até a curva, temos:

0 r 2 + s e n 4 θ

Com

0 θ 2 π

O que nós acabamos de fazer foi descrever A em coordenadas polares.

Passo 3

Agora vamos fazer a mudança polar na integral:

A = D   d A = 0 2 π 0 2 + s e n 4 θ r   d r d θ

Não se esqueça desse r do Jacobiano!

Passo 4

Agora vamos integrar isso ái

A = 0 2 π r 2 2 0 2 + s e n 4 θ d θ

= 1 2 0 2 π 4 + 4 s e n 4 θ + s e n 2 ( 4 θ ) d θ =

= 1 2 4 θ - cos ( 4 θ ) 0 2 π + 1 2 0 2 π s e n 2 ( 4 θ ) d θ =

= 4 π + 1 2 0 2 π s e n 2 ( 4 θ ) d θ =

Agora precisamos usar essa relação:

sen 2 t = 1 - cos 2 t 2

Aplicando ao nosso problema, temos:

= 4 π + 1 4 0 2 π 1 - cos 8 θ d θ =

= 4 π + 1 4 θ - 1 8 sen 8 θ 0 2 π =

= 4 π + π 2 = 9 π 2

Resposta

9 π 2

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