Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

Ver Teoria

Enunciado

Seja A ⊂ R 2 o conjunto limitado pela curva plana com parametrização dada por :

σ θ = 2 + s e n 4 θ cos ⁡ θ , 2 + s e n 4 θ sen ⁡ θ ,   θ ∈ 0,2 π

(veja figura 1). Determine a área de A .

Passo 1

Bom, a área de uma região plana A é dada por:

Á r e a = ∬ A   d x d y

Agora só precisamos escrever essa região A na integral.

Passo 2

Vamos usar coordenadaspolares por causa dessess senos e cossenos, ok?

Vamos pensar um pouquinho, as coordenadas polares nos dão que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Portanto, a parametrização de uma curva em coordenadas polares seria dada por:

σ θ = r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ

Onde r é constante ou função de θ , isso porque, como sabemos, uma curva deve ter um parâmetro! Então, na verdade é isso aqui:

σ θ = r ( θ ) cos ⁡ θ , r ( θ ) sen ⁡ θ

Comparando com a curva do problema

σ θ = 2 + s e n 4 θ cos ⁡ θ , 2 + s e n 4 θ sen ⁡ θ

Nós tiramos que

r θ = 2 + s e n 4 θ

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π . Percebeu?

Então, se a curva é dada, em coordenadas polares, por essa equação; Como podemos dizer que, para a área A , r varia desde a origem até a curva, temos:

0 ≤ r ≤ 2 + s e n 4 θ

Com

0 ≤ θ ≤ 2 π

O que nós acabamos de fazer foi descrever A em coordenadas polares.

Passo 3

Agora vamos fazer a mudança polar na integral:

A = ∫ D   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 + s e n 4 θ r   d r d θ

Não se esqueça desse r do Jacobiano!

Passo 4

Agora vamos integrar isso ái

A = ∫ 0 2 π r 2 2 0 2 + s e n 4 θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 4 + 4 s e n 4 θ + s e n 2 ( 4 θ ) d θ =

= 1 2 4 θ - cos ⁡ ( 4 θ ) 0 2 π + 1 2 ∫ 0 2 π s e n 2 ( 4 θ ) d θ =

= 4 π + 1 2 ∫ 0 2 π s e n 2 ( 4 θ ) d θ =

Agora precisamos usar essa relação:

sen 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Aplicando ao nosso problema, temos:

= 4 π + 1 4 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 8 θ d θ =

= 4 π + 1 4 θ - 1 8 sen ⁡ 8 θ 0 2 π =

= 4 π + π 2 = 9 π 2

Resposta

9 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Cardioide no primeiro quadrante: Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela cardioide r=1+s e n ( θ ) .
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2 2 - s e n 2 θ 1 2 .
Uma pétala de rosa: Encontre a área delimitada por uma pétala da rosa r=12c o s( 3 θ ) .
Concha de caracol: Encontre a área da região delimitada pelo eixo x positivo e a espiral r= 4 θ 3 ,0≤ θ≤2 π . A região se assemelha a uma concha de caracol.
Encontre a área da região comum aos interiores das cardioides r=1+c o s ⁡ ( θ ) er=1–c o s ⁡ ( θ ) .