Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

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Enunciado

Passo 1

Aqui vamos considerar as afirmações sobre um operador T : C n → C n , tal que T C a n só tem números reais. A gente viu alguns resultados sobre esse tipo de operador na teoria, lembra?

Passo 2

Afirmação ( I ) :

Vamos ver se os vetores são l.i em C :

α 1 + i β 1 v 1 + … + α k + i β k v k = 0

α 1 v 1 + … + α k v k + i β 1 v 1 + … + β k v k = 0

α 1 v 1 + … + α k v k = 0 β 1 v 1 + … + β k v k = 0

E como v 1 , …   , v k   é l.i. sobre R , temos:

α 1 = … = α k = β 1 = … = β k = 0

Logo, { v 1 , … , v k } é l.i. sobre C .

Passo 3

Afirmação ( I I ) :

Aqui, a afirmação tá cheirando mal. Vamos procurar um contra-exemplo pra garantir que ela é falsa:

Seja T tal que T C a n = 0 - 1 1 0 .

Teremos λ 1 = i e λ 2 = - i .

Vamos achar um autovetor de λ = - i :

i - 1 1 i z 1 z 2 = 0 0

i z 1 = - z 2

Um autovetor será então ( 1 , - i ) ∉ R ² .

Logo a afirmação ( I I ) é falsa.

Passo 4

Afirmação ( I I I ) :

Nós vimos que quando existe uma base B tal que T B ∈ M n ( R ) temos que, se λ é autovalor de T , então λ - também é autovalor.

A afirmação é verdadeira.

Resposta

( d ) Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras

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