Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

P3 USP MAT2458. Ano: 2012. Questão 7

Passo 1

Vamos analisar as afirmações sobre o operador T descrito no enunciado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmação ( I ) :

Uma condição para o operador T ser diagonalizável é que a soma da dimensão dos autoespaços seja 6. Como 0, é autovalor, A u t 0 = k e r ⁡ ( T ) e 6 = dim ⁡ ker ⁡ T + d i m ⁡ ( I m T ) , pra T ser diagonlizável, devemos ter dim ⁡ ker ⁡ T = 4 .

Logo dim ⁡ I m T = 2 .

Passo 3

Afirmação ( I I ) :

Temos 0 autovalor de T , logo det ⁡ T = 0 e o operador não é injetor.

Passo 4

Afirmação ( I I I ) :

Aqui ningém disse que existe uma base B tal que T B ∈ M 6 ( C ) . Logo nada garante que tenhamos autovalores conjugados.

Resposta

( d ) Apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras

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