Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

P3 USP MAT2458. Ano: 2010. Questão 13

Passo 1

Aqui vamos analisar as afirmaçãoes referentes aum operador T : C 3 → C ³ , tal que T C a n ∈ M 3 ( R ) .

Vou adiantar pra vocês que a afirmação falsa é a ( a ) . Mas por que ela?

Pra responder isso vamos ver primeiro como a afirmação ( c ) é verdadeira.

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Passo 2

Vou adiantar pra vocês que a afirmação falsa é a ( a ) . Mas por que ela?

Pra responder isso vamos ver primeiro como a afirmação ( c ) é verdadeira.

Da afirmação ( c ) temos que:

T 2 + i , 3 , - i = 2 2 + i , 3 , - i

Mas:

T 2 + i , 3 , - i = T 2,3 , 0 + i T 1,0 , - 1 = 2 2,3 , 0 + 2 i ( 1,0 , - 1 )

Como T c a n ∈ M 3 ( R ) , temos que T v ∈ R 3   sempre que v ∈ R 3 .   Assim, a gente pode separar as partes reais e imaginárias, chegando em:

T 2,3 , 0 = 2 ( 2,3 , 0 )

Logo ( 2,3 , 0 ) é autovetor de T .

Passo 3

A diferença no item ( a ) é que o autovalor em questão não é real:

T 2 + i , 3 , - i = 2 + i 2 + i , 3 , - i

T 2,3 , - 1 + i T 1,0 , - 1 = 3 + 4 i , 6 + 3 i , 1 - 2 i = 3,6 , 1 + i ( 4,3 , - 2 )

T 1,0 , - 1 = 4,3 , - 2 ≠ λ ( 1,0 , - 1 )

Logo ( 1,0 , - 1 ) não é autovetor de T .

Resposta

( a ) Se ( 2 + i , 3 , - i ) é autovetor de T associado ao autovalor 2 + i , então ( 1,0 , - 1 ) é autovetor de T

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