Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

P3-USP-MAT2458. Ano: 2012. Questão 15

Considere o espaço vetorial vetorial complexo Equation e seja Equation um operador linear tal que Equation Equation . Considere também as seguintes afirmações:

  1. Se Equation é é um autovalor real de Equation então a multiplicidade algébrica de Equation é igual a 2;
  2. Se Equation tem um autovalor complexo não real então Equation é diagonalizável;
  3. Se Equation é uma matriz simétrica então todos os autovalores de T são reais.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
  2. Apenas a afirmação (III) é verdadeira;
  3. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  4. Todas as afirmações são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar as afirmações sobre um operador Equation , tal que Equation .

Nós já vimos algumas propriedades desses operadores certo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmação Equation :

Essa é fácil: podemos ter Equation com multiplicidade 4. Logo é falsa a afirmação.

Passo 3

Afirmação Equation :

Se Equation , temos 0 como autovalor de multiplicidade algébrica e geométrica 2. Logo se tivermos um autovalor Equation teremos também o autovalor Equation , e portanto o operador será diagonálizavel, já que a soma das multiplicidades geométricas será 4.

Passo 4

Afirmação Equation :

Essa a gente mostra com o Teorema Espectral. Já que Equation , tudo acontece como se não estivéssemos trabalhando com complexos, e estaremos dentro das condições do Teorema Espectral.

Resposta

Equation Apenas as afirmações Equation e Equation são verdadeiras

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