Exercícios Resolvidos de Diagrama T × S

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Enunciado

Considere o ciclo diesel reversível, formado por uma isóbara, uma isócora e duas adiabáticas, realizado por um mol de gás ideal, como representado no diagrama P-V abaixo:

a) Calcule o trabalho total no ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da capacidade térmica molar a volume constante do gás.

b) Calcule o rendimento do ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da razão entre as capacidades térmicas molares à pressão e volume constantes.

c) Represente o ciclo no diagrama S-T, indicando claramente qual o comportamento em cada etapa.

Passo 1

a) Primeiro vamos identificar as curvas! O problema disse pra gente que são: uma isócora (volume constante), uma isóbara (pressão constante), e duas adiabáticas (sem troca de calor).

Vamos começar pelo mais fácil de identificar. Em qual das curvas o volume não varia? Na curva 4 → 1 , porque é uma linha vertical!

Em qual das curvas a pressão não varia? Na curva 2 → 3 , porque é uma linha horizontal. Nessa linha o volume aumenta, então é uma expansão isobárica.

As outras duas curvas serão as adiabáticas, sendo que: 1 → 2 ocorre compressão (o volume diminui) e 3 → 4 ocorre expansão (o volume aumenta). Então:

  • Curva (1 2): compressão adiabática.
  • Curva (2 3): expansão isobárica.
  • Curva (3 4): expansão adiabática.
  • Curva (4 1): isócora.
  • Passo 2

    No primeiro item ele pergunta o trabalho total no ciclo. Aí nós vamos ter que usar a 1 a Lei da Termodinâmica! Que é essa aqui:

    ∆ U = Q T - W

    Em que:

    Q T = Q a b s o r v i d o - Q c e d i d o

    A variação de energia interna ∆ U vai ser igual a zero no ciclo. Então:

    0 = Q T - W

    Q T = W

    Se acharmos Q T então achamos o trabalho.

    Passo 3

    Agora pensa aqui comigo. Nós teremos duas adiabáticas. Nessas curvas o sistema não recebe nem cede calor! Então o calor vai ter que ser cedido e recebido nas outras curvas. Em qual curva você acha que o sistema cede calor e em qual ele recebe?

    Na curva 2 → 3 ele recebe calor, porque aumenta de volume. Na curva 4 → 1 ele cede calor, porque a pressão diminui a um volume constante. Então:

    Q T = Q 2 → 3 - Q 4 → 1

    Como essas duas curvas são de pressão e volume constante, nós podemos calcular usando a capacidade térmica:

    Q 2 → 3 = C P ( T 3 - T 2 )

    Q 4 → 1 = - C V ( T 1 - T 4 )

    Lembrando que C P = γ C V :

    Q 2 → 3 = γ C V ( T 3 - T 2 )

    Vamos substituir:

    Q T = γ C V T 3 - T 2 + C V T 1 - T 4

    Q T = C V [ γ T 3 - T 2 + T 1 - T 4 ]

    Então:

    W = Q T = C V [ γ T 3 - T 2 + T 1 - T 4 ]

    Passo 4

    b) No segundo item ele pede o rendimento do ciclo. Esse rendimento pode ser calculado:

    η = W c i c l o Q r e c e b i d o

    Em que Q r e c e b i d o = Q 2 → 3 .

    Vamos substituir o que já temos:

    η = C V [ γ T 3 - T 2 + T 1 - T 4 ] γ C V ( T 3 - T 2 )

    Isso vai dar:

    η = C V γ T 3 - T 2 C V γ ( T 3 - T 2 ) + C V T 1 - T 4 γ C V ( T 3 - T 2 )

    η = 1 + T 1 - T 4 γ ( T 3 - T 2 )

    Passo 4

    c) Nas duas curvas adiabáticas, não haverá variação de entropia! Então no diagrama S-T, esses processos serão representados por duas retas verticais.

    No processo 1 2, como é uma compressão, a temperatura vai aumentar. No processo 3 4, como é uma expansão, a temperatura vai diminuir.

    Vamos lembrar que a Entropia no processo pode ser calculada:

    ∆ S = S f - S 0 = ∫ d Q T

    Na expansão isobárica:

    ∆ S 2 → 3 = S 3 - S 2 = ∫ 2 3 d Q T

    Mas, a pressão constante, podemos escrever a primeira lei desse jeito aqui ó:

    Q = P ∆ V + ∆ U

    Porque P ∆ V = W .

    E derivando:

    d Q = P d V + d U

    Então:

    ∆ S 2 → 3 = S 3 - S 2 = ∫ 2 3 d Q T = ∫ 2 3 P d V + d U T = ∫ 2 3 P d V T + ∫ 2 3 d U T

    Passo 5

    Ok, agora vamos por partes como Jack, O Estripador.

    ∫ 2 3 P d V T = ∫ 2 3 n R d V V

    Porque:

    P V = n R T

    P T = n R V

    E:

    ∫ 2 3 d U T = ∫ 2 3 n C V d T T

    Porque:

    d U d T = n C V

    Show. Substituindo então:

    ∆ S 2 → 3 = ∫ 2 3 n R d V V + ∫ 2 3 n C V d T T

    ∆ S 2 → 3 = ∫ 2 3 n R d V V + ∫ 2 3 n C V d T T

    ∆ S 2 → 3 = n R ln ⁡ V 3 V 2 + n C V ln ⁡ T 3 T 2

    Caramba, mas nós não sabemos quem são V 3 e V 2 . Vamos tentar descobrir? Acompanha comigo:

    P 2 V 2 = n R T 2

    P 3 V 3 = n R T 3

    Vamos isolar os caras constantes:

    P 2 n R = T 2 V 2 = P 3 n R = T 3 V 3

    Lembrando que no processo de 2 a 3 a pressão é constante!

    T 2 V 2 = T 3 V 3

    V 3 V 2 = T 3 T 2

    Ok, vamos trocar.

    ∆ S 2 → 3 = n R ln ⁡ T 3 T 2 + n C V ln ⁡ T 3 T 2

    ∆ S 2 → 3 = ( R + C V ) n ln ⁡ T 3 T 2

    Trocando C V + R por C P :

    ∆ S 2 → 3 = n C P ln ⁡ T 3 T 2

    UFA!

    Passo 6

    Nós vamos fazer a mesma coisa pra curva isocórica. Mas calma que vai ser um pouquinho mais fácil.

    ∆ S 4 → 1 = S 4 - S 1 = ∫ 4 1 d Q T = ∫ 4 1 P d V + d U T

    Como o volume é constante, P d V vai ser zero.

    ∆ S 4 → 1 = ∫ 4 1 d U T

    No mesmo esquema:

    ∆ S 4 → 1 = ∫ 4 1 d U T = ∫ 4 1 n C V d T T

    ∆ S 4 → 1 = n C V ln ⁡ T 1 T 4

    Passo 7

    Na hora de construir o gráfico: o macete é começar pelas verticais! As duas verticais serão as adiabáticas: 1 2 e 3 4. Qual você acha que vai ter mais entropia? Vai ser a reta 3 4, porque no processo de 2 a 3 o gás recebe calor. Então:

    A primeira reta terá os pontos 1 e 2 e a segunda reta os pontos 3 e 4.

    Vamos analisar as temperaturas agora:

  • Curva (1 2): compressão adiabática.
  • A temperatura aumenta porque o sistema foi comprimido sem perder calor.

    T 2 > T 1

  • Curva (2 3): expansão isobárica.
  • A temperatura aumenta de novo porque o sistema recebe calor.

    T 3 > T 2 > T 1

  • Curva (3 4): expansão adiabática.
  • A temperatura diminui porque o sistema aumenta de volume sem receber calor.

    T 4 < T 3

  • Curva (4 1): isócora.

A temperatura diminui porque a pressão diminui a volume constante.

T 4 < T 3

Colocando no gráfico e cruzando as linhas:

Vai ficar mais ou menos assim:

Resposta

a) W = Q T = C V [ γ T 3 - T 2 + T 1 - T 4 ]

b) η = 1 + T 1 - T 4 γ ( T 3 - T 2 )

c)

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