Exercícios Resolvidos de Diagrama T × S

Ver Teoria

Enunciado

Uma máquina térmica usa, como fluido de trabalho, dois moles de um gás ideal diatômico, cuja capacidade térmica molar vale C V = 5 R / 2 . O gás é submetido aos seguintes processos reversíveis:

( a → b ) :   Uma compressão adiabática, partindo de uma temperatura T a e de um volume V a , até que seu volume se reduza a metade, no estado b .

( b → c ) :   Uma expansão isotérmica, do estado b até o estado c , onde seu volume retorna ao valor inicial.

( c → a ) : Um resfriamento isocórico, até que sua temperatura volte ao valor inicial, fechando assim o ciclo.

  1. Determine temperatura do gás no estado b .
  2. Determine o calor transferido ao gás em cada uma das etapas.
  3. Determine a variação da entropia do gás em cada uma das etapas.
  4. Dado que o valor da entropia no estado a vale S a   =   1 R , faça um esboço deste ciclo num diagrama T -   S , deixando claro cada uma das etapas.

Atenção: Deixe suas respostas em termos de T a e R . Se achar conveniente, use que 2 2 5 ≅ 1,32 ;   7 5 = 1,4 ; e   l n 2 ≅ 0,69

Passo 1

Para um processo adiabático num gás ideal, temos que:

T V γ - 1 = c t e

Onde

γ = c p c v = c v + R c v = 5 R 2 + R 5 R / 2 = 7 5

Então,

T a V a γ - 1 = T b V b γ - 1

T b = T a V a V b γ - 1

Sabemos que V a = 2 V b , logo:

T b = T a 2 7 5 - 1 = 2 2 / 5 T a

T b = 1,32 T a

Passo 2

Vamos analisar o calor em cada uma das etapas do ciclo A B C .

A → B : Processo adiabático, logo Q = 0 .

B → C : Como se trata de um processo isotérmico em que não há variação de temperatura, temos que ∆ U = 0 . Logo,

Q = W = n R T b ln ⁡ V b V a

Q = W = 2 R × 2 2 / 5 T a l n 2 = 2 7 / 5 ln ⁡ 2 R T a

C → A : Temos um processo a volume constante em que ∆ V = 0 .

Q = n c v T a - T c = n c v T a - T b

Q = 2 × 5 R 2 1 - 2 2 / 5 T a = 5 1 - 2 2 / 5 R T a

Q = 5 1 - 1,32 R T a

Q = - 1,6 R T a

Passo 3

A variação de entropia é dada pela seguinte expressão:

d S = d Q T

Sabendo isso, vamos analisar a entropia para cada trecho do ciclo.

A → B : Como se trata de um processo adiabático, temos que:

d Q = 0

Logo,

∆ S = 0 , processo isentrópico.

B → C : Na expansão isotérmica,

∆ S = ∫ b c d Q T = 1 T b ∫ b c d Q

∆ S = Q T b = 2 7 / 5 ln ⁡ 2 R T a 2 2 / 5 T a = 2 ln ⁡ 2 R

C → A : Temos um processo isocórico em que:

d Q = n c v d T

Logo, substituindo da expressão da entropia, temos:

∆ S = n C v ∫ c a d T T = n c v ln ⁡ T a T c

Nesse processo a temperatura é mantida constante, portanto podemos afirmar que T c = T b .

∆ S = 2 × 5 R 2 × ln ⁡ T a 2 2 5 T a = 5 R × ln ⁡ 2 - 2 / 5 = 5 R - 2 5 ln ⁡ 2

∆ S = - 2 ln ⁡ 2 R

Passo 4

O processo a b é uma compressão adiabática reversível. Ou seja, o processo é isentrópico (sem variação de entropia). Em outras palavras, a entropia do estado b S b é igual à entropia do estado a S a .

S b = S a = 1 R

Então no diagrama T S será uma reta vertical (se colocarmos no eixo vertical temperatura e no horizontal entropia), onde a temperatura irá aumentar, já que T b = 2 2 / 5 T a > T a . Usando a aproximação 2 2 5 ≅ 1,32 , T b passa a valer:

T b = 1,32 T a

O processo b c é uma expansão isotérmica onde a entropia do gás vai aumentar, já que num processo isotérmico Δ U = 0 → Q = W e W > 0 por ser uma expansão. Como é um processo isotérmico, T c = T b .

T c = T b = 1,32 T a

Já a entropia do estado c S c será a entropia do estado b S b mais a variação de entropia entre os estados b e c .

S c = S b + Δ S

S c = 1 R + 2 ln ⁡ 2 R

S c = 1 + 2 ln ⁡ 2 R

Usando a aproximação l n 2 ≅ 0,69 :

S c = 1 + 2 × 0,69 R

S c = 2 , 38 R

Depois, basta ligar c com a e correr para o abraço!

Resposta

a) 2 2 / 5 T a

b)   A → B : Q = 0 ;

B → C : Q = 2 7 / 5 ln ⁡ 2 R T a ;

C → A : Q = 5 1 - 2 2 / 5 R T a :

c) A → B : ∆ S = 0 ;

B → C : ∆ S = 2 ln ⁡ 2 R ;

C → A : ∆ S = - 2 ln ⁡ 2 R :

d)

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que 2 m o l s de um gás diatômico ideal sejam submetidos reversivelmente ao ciclo mostrado no diagrama T - S na figura abaixo, onde S 1 = 6 J / K e S 2 = 8 J / K . As moléculas não giram nem o
Um fluido é submetido a um ciclo reversível. Se o ciclo é representado por um diagrama no plano ( T , S ) , onde S é a entropia do fluido, (a) Mostre que o trabalho associado ao ciclo é dado por W = ⨕
a)Faça um gráfico do ciclo de Carnot, indicando a entropia no eixo horizontal e a temperatura em Kelvin no eixo vertical. Trata-se de um diagrama temperatura -entropia, ou diagrama T S . b) Mostre que