Exercícios Resolvidos de Diagrama T × S

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Enunciado

1   m o l de um gás ideal é submetido a uma transformação cíclica reversível, representada no plano ( T , S ) pelo diagrama abaixo:

Na transformação a → b , o gás sofre um aquecimento a pressão constante; em b → c , um resfriamento adiabático; em c → d , um resfriamento a volume constante; finalmente, em d → a , um aquecimento adiabático.

a   Mostre, partindo de primeiros princípios, que

W = ∮ T   d S

b   Dado que, no aquecimento a pressão constante, d S = C p d T T e, no resfriamento a volume constante, d S = C v d T T , calcule o trabalho realizado neste ciclo.

c   Desenhe o diagrama correspondente no plano ( P , V ) , descrevendo cada processo, e calcule o trabalho, da maneira tradicional,APENAS no processo a pressão constante ( a → b ) . Escreva o resultado em termos das temperaturas do sistema.

Passo 1

Resolvendo item ( a )

Como o ciclo é reversível, podemos calcular a variação de entropia do ciclo desta forma:

Δ S = ∫ d Q T

Na forma diferencial:

d S = d Q T

Substituindo na integral do ciclo:

∮ T   d S = ∮ T   d Q T = ∮ d Q = Q c i c l o

Então, essa integral é o saldo de calor no ciclo.

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica no ciclo:

Q c i c l o = Δ U c i c l o + W c i c l o

Como a variação de energia interna só depende dos estados inicial e final, em um ciclo essa variação é zero.

Logo:

Q c i c l o = W c i c l o

Então, se ∮ T   d S = Q c i c l o

Logo:

W c i c l o = ∮ T   d S

Passo 2

Resolvendo item ( b )

O trabalho realizado é dado por:

W = ∮ T   d S = Á r e a   d o   c i c l o

Ou seja:

∮ T   d S = ∫ a b T   d S + ∫ b c T   d S + ∫ c d T   d S + ∫ d a T   d S

Nos processos d → a e b → c , a área abaixo da curva é zero.

Então, precisamos calcular essa integral só nos processos a → b e c → d .

Passo 3

Calculando integral no processo a → b :

Nesse processo, o enunciado nos disse que

d S = C p d T T

Pois, nesse processo, a pressão é constante.

Substituindo na integral:

∫ T   d S = ∫ T   C p d T T = C p ∫ d T

Logo:

∫ a b T   d S = C p ∫ a b d T

⇒ ∫ a b T   d S = C p T b - T a

Passo 4

Calculando integral no processo c → d :

Nesse processo, o enunciado nos disse que

d S = C v d T T

Pois, nesse processo, o volume é constante.

Substituindo na integral:

∫ T   d S = ∫ T   C v d T T = C v ∫ d T

Logo:

∫ c d T   d S = C v ∫ c d d T

⇒ ∫ c d T   d S = C v T d - T c

Passo 5

Substituindo o que encontramos na integral do ciclo:

∮ T   d S = ∫ a b T   d S + ∫ b c T   d S + ∫ c d T   d S + ∫ d a T   d S

⇒ ∮ T   d S = C p T b - T a + 0 + C v T d - T c + 0

⇒ ∮ T   d S = C p T b - T a + C v T d - T c

Logo, o trabalho realizado no ciclo é dado por:

W = ∮ T   d S

⇒ W = C p T b - T a + C v T d - T c

Passo 6

Para desenhar o diagrama p - V , vamos ver quais curvas correspondem a cada processo:

a → b : aquecimento a pressão constante

Nesse caso, como a pressão é constante, a curva é uma reta horizontal.

Como é um aquecimento, a direção é da esquerda para a direita, pois:

Q = n c p Δ T

Como Q > 0 , então Δ T > 0 .

Pela equação do gás ideal a pressão constante:

V a T a = V b T b

Como a temperatura aumenta, o volume também aumenta. Por isso, o sentido da seta é da esquerda para a direita.

Passo 7

b → c : resfriamento adiabático

A curva adiabática tem direção da esquerda para a direita, pois a temperatura diminui.

Sabemos que a curva adiabática é mais inclinada do que as isotermas:

Então, nosso gráfico fica assim:

Passo 8

c → d : resfriamento a volume constante

Nesse caso, a curva é uma reta vertical, pois o volume é constante.

Pela equação do gás ideal a volume constante:

p c T c = p d T d

Como a temperatura diminuiu, a pressão também diminui.

Então a direção é para baixo.

Passo 9

d → a : aquecimento adiabático

Como é um aquecimento, a curva tem direção da direita para esquerda.

Pra fechar o ciclo, só poderia ser assim mesmo.

Então o gráfico fica assim:

Passo 10

Eu imagino que a “maneira tradicional” de calcular trabalho é pela integral:

W = ∫ p   d V

Ou seja, a área sobre a curva no diagrama p - V .

No processo isobárico a → b , temos p = c o n s t a n t e .

Logo:

W a b = p V b - V a

O problema nos pede que o trabalho seja colocado em termos das temperaturas.

Colocando a equação do gás ideal nos pontos a e b :

p V a = n R T a

p V b = n R T b

Subtraindo a segunda da primeira:

p V b - V a = n R T b - T a

Como n = 1   m o l :

W a b = R T b - T a

Resposta

a   W = C p T b - T a + C v T d - T c

b   W a b = R T b - T a

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