Exercícios Resolvidos de Diagrama T × S

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Enunciado

Seja o ciclo abaixo, realizado por n moles de um gás ideal, no plano T   x   S . Considere conhecidas as temperaturas T 1 e T 2 e a diferença de entropia ∆ S = S 2 - S 1 > 0

  1. Calcule o calor transferido em cada etapa ( a → b ,   b → c ,   c → d ,   d → a ) em função de ∆ S , T 1   e   T 2 , indicando se este foi absorvido pelo sistema ou cedido pelo mesmo.
  2. Calcule a diferença de energia interna em cada etapa ( a → b ,   b → c ,   c → d ,   d → a ) em função de C V ,   T 1 e   T 2 , onde C V é a capacidade térmica molar a volume constante do gás.
  3. Calcule o trabalho total do ciclo, em função de ∆ S ,   T 1   e   T 2 , indicando claramente se este foi realizado pelo sistema ou sobre ele.
  4. Este ciclo representa uma máquina ou um refrigerador? Justifique. Se você achar que representa uma máquina, calcule a sua eficiência térmica e . Se você achar que é um refrigerador, calcule o coeficiente de desempenho K .

Passo 1

a)

Aqui basta a gente lembrar que:

∆ S = ∫ d Q T

E então é so aplicar a cada trecho.

Passo 2

Trechos:

a → b :

Aqui a temperatura é constante, então:

∆ S a b = ∫ d Q T = ∫ d Q T = Q a b T 2 →   Q a b = T 2 ( S 2 - S 1 ) > 0

É maior que zero porque a variação de entropia é positiva.

b → c :

Nesse trecho, a entropia é constante, assim, a variação de entropia é nula o que nos leva a:

∆ S b c = 0

∫ d Q T = 0 → d Q = 0 → Q b c = 0

Assim, não há troca de calor nesse trecho. O trecho é uma transformação adiabática.

Passo 3

c → d :

Nesse trecho a temperatura também é constante, então fazemos como em a → b :

∆ S c d = ∫ d Q T = ∫ d Q T = Q c d T 1 →   Q c d = T 1 S 1 - S 2 < 0

Menor que zero já que a variação de entropia é negativa.

d → a :

∆ S d a = 0 → ∫ d Q T = 0 → d Q = 0 → Q d a = 0

Que nem o trecho b c .

Passo 4

b)

Basta a gente aplicar a fórmula pra cada trecho, prestando atenção quando a temperatura for constante:

∆ U = n c v ∆ T

Assim:

∆ U a b = n c v T 2 - T 2 = 0

∆ U b c = n c v T 1 - T 2 < 0 ,   j á   q u e   T 1 < T 2

∆ U c d = n c v T 1 - T 1 = 0

∆ U d a = n c v T 2 - T 1 > 0 ,   j á   q u e   T 2 > T 1

Passo 5

c)

Para um ciclo, temos que a variação de energia interna é nula. Assim:

∆ U c i c l o = Q c i c l o - W c i c l o = 0 → W c i c l o = Q c i c l o

Então basta a gente calcular o calor total do ciclo:

Q c i c l o = Q a b + Q b c + Q c d + Q d a = T 2 S 2 - S 1 + 0 + T 1 S 1 - S 2 + 0 = S 2 - S 1 . T 2 - T 1

Q c i c l o = T 2 - T 1 . ∆ S > 0

Já que:

T 2 > T 1

Passo 6

d)

Representa uma máquina térmica, já que o trabalho do ciclo é positivo. Assim:

e = W c i c l o Q a b s o r v i d o

O calor é absorvido onde ele é positivo, assim:

Q a b s o r v i d o = Q a b = T 2 ∆ S

Assim:

e = ∆ S T 2 - T 1 ∆ S T 2 = T 2 - T 1 T 2 = 1 - T 1 T 2

Resposta

a)

  Q a b = T 2 ( S 2 - S 1 )

Q b c = 0

Q c d = T 1 S 1 - S 2

Q d a = 0

b)

∆ U a b = 0

∆ U b c = n c v T 1 - T 2

∆ U c d = 0

∆ U d a = n c v T 2 - T 1

c):

Q c i c l o = T 2 - T 1 . ∆ S > 0

d):

Máquina térmica

e = 1 - T 1 T 2

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