Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Achar a distância do ponto A = ( 1 ,   1 ,   3 ) à reta determinada pelos pontos P = ( 4 ,   3 ,   - 2 ) e Q = 2 ,   2 ,   0 .

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação dessa reta na forma vetorial! Para isso, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor!

O ponto da reta pode ser qualquer um dos que foram dados no enunciado! Para o vetor diretor, basta fazermos P - Q

P - Q = 4 - 2 ,   3 - 2 ,   - 2 - 0 = 2 ,   1 ,   - 2 = r →

Com essas informações conseguimos escrever a equação vetorial da reta!

r : x ,   y ,   z = 4 ,   3 ,   - 2 + t ( 2 ,   1 ,   - 2 )

Passo 2

Agora vamos calcular o ponto R , genérico da reta. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta r :

r : x ,   y ,   z = 4 ,   3 ,   - 2 + t ( 2 ,   1 ,   - 2 )

Assim, R é:

R = ( 4 + 2 t ,   3 + 1 t ,   - 2 - 2 t )

Sabendo o jeitão de R podemos determinar o vetor A R → :

A R → = R - A = 4 + 2 t ,   3 + 1 t ,   - 2 - 2 t - 1 ,   1 ,   3 = 3 + 2 t ,   2 + t ,   - 5 - 2 t

Passo 3

Temos da equação da reta r que r → = ( 2 ,   1 ,   - 2 ) e descobrimos que   A R → = 3 + 2 t ,   2 + t ,   - 5 - 2 t .Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor A R → são ortogonais, logo:

A R → ∙ r → = 0

Calculando:

3 + 2 t ,   2 + t ,   - 5 - 2 t ∙ 2 ,   1 ,   - 2 = 6 + 4 t + 2 + t + 10 + 4 t = 0 → t = - 2

Agora que achamos que t = - 2 podemos calcular R :

R = 4 + 2 t ,   3 + 1 t ,   - 2 - 2 t → R = 0 ,   1 ,   2

Passo 4

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto A   e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto A ( 1 ,   1 ,   3 ) e R = 0 ,   1 ,   2

d A , R = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d A , R = 1 - 0 2 + ( 1 - 1 ) 2 + ( 3 + ( - 2 ) ) 2 = 2   u . c

Resposta

d A , R = 2   u . c

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