Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Se P = ( 2 , - 1,1 ) e a reta r é a interseção dos planos π 1 : x - y + 2 z - 1 = 0   e   π 2 : 2 x - y + 3 z - 4 = 0 , então a distância do ponto P à reta r é igual a:

Passo 1

Falaaa ai, blz??? Vamos começar essa questãozinha envolvendo distância entre ponto e reta no R 3 .

Para começar a pensar entre distância de ponto e reta nós temos que achar a reta, então vamos começar por isso

Faremos a interseção entre os planos para achar a reta:

r :   x - y + 2 z - 1 = 0 2 x - y + 3 z - 4 = 0

Vamos sumir com y na última equação para que possamos parametrizar de forma mais fácil a equação da reta.

r :         x - y + 2 z - 1 = 0 x + z - 3 = 0

Tomando z = t nós temos:

r :   x = 3 - t y = 2 + t z = t   ;       t ∈ R

Passo 2

Vamos lembrar que para achar a distância entre um ponto e uma reta temos uma formulinha para isso.

d P , r = v → ∧ P 1 P → v →  

Onde P 1   é um ponto da reta e v →   é um vetor diretor da reta (paralelo a reta).

Passo 3

Ou seja, basta acharmos esse ponto da reta e o vetor diretor.

Porém essas informações saem de forma direta da equação parametrizada da reta.

r :   x = 3 - t y = 2 + t z = t   ;       t ∈ R

Nesse caso, temos que P 1 = 3,2 , 0 ∈ r     e   t e m o s   q u e   v → = ( - 1,1 , 1 )

P 1 P → = 2 , - 1,1 - 3,2 , 0 = ( - 1 , - 3,1 )

v → ∧ P 1 P → =   i j k - 1 1 1 - 1 - 3 1 = 4,0 , 4

Logo | v → ∧ P 1 P → | =   4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 e v → = 3

Dai temos nossa resposta dada por:

d P , r = v → ∧ P 1 P → v → = 4 2 3 = 4 6 3

Resposta

4 6 3

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