Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p suja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

Considere o ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 )

c) Determine a distância d do ponto A à reta r e um ponto N de r tal que a distância entre A e N seja d .

Passo 1

Um ponto genérico da reta r é

N = ( 1 + t ,   2 + t ,   2 t )

Como queremos a distância d de A até r , precisamos do vetor A N → :

A N → = N - A = ( t ,   2 + t ,   2 t - 1 )

Estamos falando de distância, então o vetor A N → deve ser perpendicular ao vetor diretor r → = ( 1 ,   1 ,   2 ) da reta r , ou seja:

A N → . r → = 0

t ,   2 + t ,   2 t - 1 . 1 ,   1 ,   2 = 0

t + 2 + t + 4 t - 2 = 0

6 t = 0

t = 0

Passo 2

Substituindo o valor t = 0 no vetor A N → , encontramos que o vetor A N → perpendicular a r é

A N → = ( 0 ,   2 ,   - 1 )

A distância d que estamos procurando é o módulo do vetor A N → :

d = A N → = 0 2 + 2 2 + - 1 2 = 5

Então, a distância entre A e a reta r é 5 .

Passo 3

Substituindo o valor de t em N = ( 1 + t ,   2 + t ,   2 t ) , encontramos que o ponto n que satisfaz que a distância entre A e r seja d é

N = ( 1 ,   2 ,   0 )

Resposta

d = A N → = 5

N = ( 1 ,   2 ,   0 )

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