Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Ache os pontos de r :   x + y = 2 x = y + z que distam 3 do ponto A = ( 0 ,   2 ,   1 )

Passo 1

O problema nos pede para encontrarmos os pontos que pertencem à reta r e que distam 3 do ponto A . Então, para isso devemos encontrar o ponto genérico de r para então calcularmos a distância entre dois pontos que sabemos que vale 3 .

Passo 2

Temos do enunciado os seguinte sistema para r :

r :   x + y = 2 x = y + z

Vamos fazer algumas manipulações! Podemos escrever o sistema da seguinte maneira:

  x = 2 - y x = y + z

Substraindo a segunda equação da primeira, temos:

0 = 2 - 2 y - z → z = 2 - 2 y

E pela primeira equação sabemos que x = 2 - y , então podemos escrever o nosso ponto pertence à r da seguinte forma:

R = ( 2 - y ,   y ,   2 - 2 y )

Passo 3

Agora que temos nosso ponto R podemos calcular que a distância entre R = ( 2 - y ,   y ,   2 - 2 y ) e A = ( 0 ,   2 ,   1 ) vale 3 . Pela fórmula de distância entre dois pontos:

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

3 = 2 - y - 0 2 + y - 2 2 + ( ( 2 - 2 y ) - 1 ) 2

Resolvendo:

3 = 6 y 2 - 12 y + 9

Elevando os dois lados ao quadrado:

9 = 6 y 2 - 12 y + 9

6 y 2 - 12 y = 0 → 6 y y - 2 = 0

y = 0         o u           y = 2

Sabemos agora que y = 0 ou y = 2 podemos então substituir em R = ( 2 - y ,   y ,   2 - 2 y )   :

S e   y = 0 → R = 2 ,   0 ,   2

S e   y = 2 → R = ( 0 ,   2 ,   - 2 )

Pronto!! Os pontos de r que distam 3 de A , são:

2 ,   0 ,   2     e       ( 0 ,   2 ,   - 2 )

Resposta

2 ,   0 ,   2     e       ( 0 ,   2 ,   - 2 )

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