Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Em R 2 , considere um triângulo A B C   retângulo em B e isósceles (catetos de mesma medida: | A B | = | B C | ) satisfazendo simultaneamente:

A = ( 1 ,   - 2 ) ;

A B → =   ( - 6 ,   4 ) ;

• A origem ( 0 ,   0 ) está no interior do triângulo.

(a) Determine as coordenadas do ponto B .

(b) Determine as coordenadas do ponto C .

(c) Determine a distância entre o ponto A   e a reta s que passa por   B e C .

(d) Determine a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta s que passa por   B e C .

Passo 1

(a) Determine as coordenadas do ponto B

Bom, temos o ponto A = 1 ,   - 2 e o vetor A B → = - 6 ,   4 , assim podemos achar bem facinho o ponto B :

A B → = B - A = x , y - 1 , - 2 = ( - 6,4 )

x , y = - 6 + 1,4 - 2 = ( - 5,2 )

Passo 2

(b) Determine as coordenadas do ponto C .

Temos que A B → é perpendicular a B C → e que ambos tem o mesmo módulo, então vamos usar isso aí:

A B → ⋅ B C → = 0 ⟹ - 6,4 ⋅ x , y = 0 ⟹ - 6 x + 4 y = 0

x = 4 6 y

Assim, B C → pode ser igual a 4,6 ou ( - 4 , - 6 ) . Ué não poderia ser também ( 8,12 ) ou ( 2,3 ) ou qualquer outro vetor que favoreça a condição acima?

Nãooo!! Simplesmente pelo fato de que o módulo deve ser igual ao de A B → então as coordenadas devem tais que a conta do módulo de a mesma. Como, sinal não importa para o módulo, temos 2 respostas possíveis.

Passo 3

Agora vamos fazer a subtração para acharmos C :

B C → = C - B = x , y - ( - 5,2 ) = ( 4,6 ) ⟹ ( x , y ) = ( - 1,8 )

ou

B C → = C - B = x , y - ( - 5,2 ) = ( - 4 , - 6 ) ⟹ ( x , y ) = ( - 9 , - 4 )

E agora? Ficamos com essas duas respostas mesmo? Vamos dar uma olhadinha naquela informação que sobrou: a origem ( 0 ,   0 ) está no interior do triângulo. Será que essas duas respostas satisfazem isso aí?

Vamos tentar ver geometricamente:

No primeiro gráfico C   é o ponto ( - 1,8 ) e a origem está dentro do triangulo e no segundo, C   sendo o ponto ( - 9 , - 4 ) , não temos a origem dentro. Dessa forma   C = ( - 1,8 )

Passo 4

(c) Sabemos que o ângulo em B   é 90 ° então o que precisamos é do módulo de A B → .

Isso porque para achar a distância entre um ponto e uma reta precisamos liga o ponto a reta por meio de uma reta perpendicular a essa, que no caso é a que passa por A   e B .

Calculando o módulo...

∥ A B → ∥ = - 6 2 + 4 2   =   52 = 2 13

Resposta

(d) É só lembrar que a projeção ortogonal funciona assim:

Agora, para aplicar ao caso em questão, imagina que o ângulo entre esses dois vetores é 90 ° , assim como em B . Consegue visualizar que a projeção seria nula?

Ah, então a resposta é 0?

Nãao!! Porque aqui ele tá pedindo pra gente a projeção do ponto A   e não do vetor, logo, a projeção de A ,   vai ser o próprio ponto B = ( - 5,2 )

Isso porque para achar a distância entre um ponto e uma reta precisamos ligar o ponto a reta por meio de uma reta perpendicular a essa, que no caso é a que passa por A   e B . Dá uma olhadinha na imagem do nosso triângulo de novo pra você visualizar melhor esses paranauês.

Resposta

(a) B = - 5,2

(b) C = ( - 1,8 )

(c)   2 13

(d)   ( - 5,2 )

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