Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Considere o produto interno usual de R 4 e calcule a distância entre o ponto ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) e a reta gerada pelo vetor ( 1 ,   2 ,   3 ,   4 ) :

a) 2

b) 2 3

c) 3 2

d) 6 3

e) Não sei

Passo 1

Bem, a reta gerada pelo vetor r → = ( 1 ,   2 ,   3 ,   4 ) pode ser escrita assim:

r : X = 0 ,   0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   2 ,   3 ,   4 )

Então, um ponto genérico dessa reta é Q = ( λ ,   2 λ ,   3 λ ,   4 λ ) .

Seja o ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) , o vetor P Q → será

P Q → = Q - P = ( λ - 1 ,   2 λ - 1 ,   3 λ - 1 ,   4 λ - 1 )

Passo 2

O vetor P Q → e o vetor r → devem ser ortogonais para acharmos o ponto Q desejado e calcularmos sua distância ortogonal até o ponto Q , então:

P Q → . r → = 0

λ - 1 ,   2 λ - 1 ,   3 λ - 1 ,   4 λ - 1 . 1 ,   2 ,   3 ,   4 = 0

λ - 1 + 4 λ - 2 + 9 λ - 3 + 16 λ - 4 = 0

30 λ = 10

λ = 1 3

Substituindo esse λ no ponto genérico Q :

Q = λ ,   2 λ ,   3 λ ,   4 λ = 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3

Agora é só calcular a distância de P até Q :P

Passo 3

A distância vai ser

d P ,   r = d P ,   Q = 1 - 1 3 2 + 1 - 2 3 2 + 1 - 1 2 + 1 - 4 3 2

d P ,   r = 6 9

d P ,   r = 2 3 = 2 3

Então a alternativa correta é a letra B

Resposta

b) 2 3

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