Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

Ver Teoria

Enunciado

A condição necessária e suficiente para que a equação M ( x , y ) d x   +   N ( x , y ) d y   =   0 seja diferencial exata é que, sendo M e N funções contínuas e deriváveis, se tenha d M d y = d N d x .

Sendo assim, resolva a equação exata x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:

x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Vamos começar definindo quem são as funções M ( x , y ) e N ( x , y ) da nossa equação.

M x , y = x 3 + y 2

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y

x 3 + y 2 ⏟ M ( x , y ) d x + 2 x y + cos ⁡ y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Vamos verificar se ela é uma equação exata, vendo se temos d M d y = d N d x , como o próprio exercício nos informa...

Passo 2

Vamos derivar a função M x , y = x 3 + y 2 em relação a y , a gente considera x constante:

d M d y = 2 y

E agora vamos derivar N x , y = 2 x y + cos ⁡ y em relação a x :

d N d x = 2 y

Como encontramos d M d y = d N d x , vemos que a equação é exata!

Passo 3

O nosso próximo passo agora é integrar M em relação a x :

Para isso, começamos integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M x , y d x = ∫ x 3 + y 2 d x

= x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Lembrando que essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a x todos os termos que dependiam apenas de y foram tratados como constante, então na integração, temos que considerar isso.

Passo 4

Agora, devemos derivar esse resultado em função de y .

d d y x 4 4 + y 2 x + g y

= 2 x y + g ' y

Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função N ( x , y ) . Igualando as duas coisas.

Passo 5

Comparando...

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y = 2 x y + g ' y

Com isso, a gente tem que :

cos ⁡ y = g ' ( y )

E pra achar o valor de g ( y ) , vamos integrar g ' ( y ) :

g y = ∫ cos ⁡ y d y

g y = sen ⁡ y

Passo 6

Essa é a última etapa para calcularmos u ( x , y ) e assim acharmos a nossa solução.

u x , y = x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Substituindo o valor de g y = sen ⁡ y , ficará:

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y

E agora igualamos isso à constante C :

x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = C

Uhuul!! Chegamos na resposta!

Resposta

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = C