Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

Passo 1

Fala aí, tudo joia? O exercício já nos falou que a EDO é exata, e ela já está no formato que a gente usa, olha só:

e y ⏟ M ( x , y ) d x + x e y - 2 y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Beleza, bora lá então!

Passo 2

Para resolver EDOs desse tipo, devemos integrar M x , y com relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ e y d x

Como a integral é em relação a x , tudo o que está com y a gente considera constante, beleza?

Sendo assim, podemos tirar da integral o e y já que é uma constante:

∫ e y d x = e y ∫ d x

Resolvendo a integral, teremos:

= x e y + g ( y )

Lembra que essa g ( y ) é a função que depende de y , como se fosse nossa constante que precisamos sempre colocar depois de resolver uma integral indefinida!

Passo 3

Beleza, agora a gente vai derivar o resultato que encontramos no passo 2, mas agora em relação a y e considerando o x constante:

∂ x e y + g y ∂ y = x e y + g ' ( y )

Vamos seguir...

Passo 4

Agora a gente compara o resultado obtido no passo 3 com N ( x , y ) . Podemos igualar mesmo:

x e y + g ' y = x e y - 2 y

Daí a gente descobre que:

g ' y = - 2 y

Passo 5

Pra descobrir g y então �� só integrar g ' ( y ) , em relação a   y :

Integrando em relação a y temos:

∫ g ' y d y = ∫ - 2 y   d y

g y = - 2 y 2 2

g y =   - y 2

Passo 6

Agora vamos obter a função potencial u ( x , y ) inserindo o valor que a gente achou pra g ( y ) dentro dessa expressão aqui:

u x , y = x e y + g ( y )

u x , y =   x e y - y 2

E assim a solução final é dada implicitamente por:

u x , y = C

Então a nossa é:

x e y - y 2 = C

Prontinho! Essa é a nossa solução da EDO😊

Resposta

C = x e y - y 2