Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

Passo 1

Bom. A primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem!

Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:

y + x 2 y d y = - x + x y 2 d x

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata! A gente pode chamar os pedacinhos assim:

M x , y = x + x y 2

N x , y = y + x 2 y

Então:

x + x y 2 ⏟ M ( x , y ) d x + y + x 2 y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Passo 2

Vamos verificar se é exata!

Para ser exata, precisamos que: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Derivando M = x + x y 2 em relação a y , temos:

∂ M ∂ y = 2 x y

E derivando N = y + x 2 y em relação a x temos:

∂ N ∂ x = 2 x y

As duas derivadas parciais são iguais, então essa é uma EDO Exata!!

Passo 3

Sabendo que a EDO é exata, agora precisamos resolvê-la. E para isso vamos para o próximo passo que é integrar M x , y com relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ x + x y 2 d x

Lembra que aqui a gente considera y constante:

∫ x + x y 2 d x = ∫ x   d x + y 2 ∫ x   d x

= x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Não esquece de somar essa função g ( y ) , tá bom? Ela será nossa constante de integração.

Passo 4

Continuando...

Feito isso, agora derivamos o resultado obtido no passo 2, mas agora em relação a y :

∂ ∂ y x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y

= 0 + 2 x 2 y 2 + g ' ( y )

Simplificando:

= x 2 y + g ' ( y )

Passo 5

Agora vamos comparar o resultado obtido no passo 3 com N ( x , y ) , igualando as duas:

x 2 y + g ' y = y + x 2 y

E aí encontramos:

g ' y = y

Integrando g ' ( y ) com relação a y :

g y = ∫ y   d y

g y = y 2 2

Passo 6

Agora a gente pega esse resultado de g y = y 2 2 e encaixa lá naquela expressão do passo 2 fazendo:

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y

u ( x , y ) = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 7

A solução é dada implicitamente por u x , y = C , então vamos igualar nossa expressão a C e prontinho!

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

Passo 8

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2