Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Encontre uma solução para a seguinte equação exata:

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

Passo 1

Vamos começar lembrando do que é uma equação exata. A forma geral dela é essa aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Mas ela tem uma propriedade especial, que diz que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Como o enunciado já garantiu que a equação é exata, nem precisamos conferir isso. Agora vamos ao que interessa: como a gente faz pra resolver uma EDO exata?

Passo 2

Então vamos lá, primeiro temos que identificar quem são M e N . Pra isso é só comparar as equações:

M x , y d x + N x , y d y = 0

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

Ou seja:

M x , y = 3 x 2 y 3 + y 4 N x , y = 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3

Passo 3

Agora a gente integra M em relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ 3 x 2 y 3 + y 4   d x

Aqui é só aplicar as regras da integração de polinômios, não esqueça de colocar a constante g y no final:

= x 3 y 3 + x y 4 + g y

Por que a constante aparece como uma função de y ? Bom, já que a gente integrou só em relação a x , a “constante” ainda tem todo o direito de depender de y .

Passo 4

Show! Agora a gente deriva essa expressão que achamos no passo anterior, mas agora em relação a y :

∂ x 3 y 3 + x y 4 + g y ∂ y =   3 x 3 y 2 + 4 x y 3 + g ' ( y )

E vamos comparar esse resultado com N x , y !

Passo 5

Temos que:

N x , y = 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3

3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 = 3 x 3 y 2 + 4 x y 3 + g ' ( y )  

Daqui tiramos que:

g ' y = y 4

Então ....

g y = ∫ y 4   d y

g y = y 5 5

Passo 6

Substituindo isso na expressão lá do Passo 3, temos:

u x , y = x 3 y 3 + x y 4 + g y

u x , y = x 3 y 3 + x y 4 + y 5 5

E por fim igualamos nossa solução a uma constante:

x 3 y 3 + x y 4 + y 5 5 = C

Prontinho! 😊

Resposta

x 3 y 3 + x y 4 + y 5 5 = C