Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dada.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, né? Mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que

M x , y d x + N x , y d y = 0

Logo,

  M x , y = 2 y 2   x - 3  

N ( x , y ) = 2 y x 2 + 4

A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

Vamos ver as derivadas pra conferir se nossa equação realmente é exata.

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

Como ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque agora é só aplicar o método.

Passo 2

Integrando M x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = ∫ 2 y 2 x   d x - ∫ 3 d x

Lembrando que as integrais são em relação a x ,   certo? Então o restante sai como constante

2 y 2 ∫ x   d x - 3 ∫ d x =

2 y 2 x 2 2 - 3 x + g y

Simplificando:

y 2 x 2 - 3 x + g ( y )

Passo 3

Derive o resultado obtido no passo 2 com relação a y

∂ ∂ y y 2 x 2 - 3 x + g y

Tiramos as constantes. Detalhe, derivada em relação a y . Atenção!

x 2 y 2 ' - ( 3 x ) ' + g ' y =

Lembrando que a derivada só da constante é zero. Como ( 3 x ) não tem a variável y , fica zero

2 y x 2 + g ' ( y )

Passo 4

Compare o resultado obtido no passo 3 com N ( x , y )

2 y x 2 + g ' y = 2 y x 2 + 4

g ' y = 4

Integrando acharemos g ( y )

g y = ∫ 4 d y

g y = 4 y

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o resultado obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y

Passo 6

Como u ( x , y ) = C , onde C é uma constante.

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = C

Show, estamos perto. Agora precisamos descobrir o valor da constante C .

Passo 7

Utilizando as informações do PVI que forma dadas no enunciado, y 1 = 1 , temos.

y = 1

x = 1

Substituindo em nossa solução:

1 2 1 2 - 3.1 + 4.1 = C

C = 2

Passo 8

Com isso, a solução é dada implicitamente pela equação

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = 2

y 2 x 2 + 4 y - 3 x - 2 = 0

Precisamos resolver essa equação para achar y , se liga que ela é uma equação de 2 º grau onde

a = x 2

b = 4

c = - 3 x - 2

Então podemos resolver

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

y = - 4 ± 4 2 - 4 x 2 - 3 x - 2 2 x 2

y = - 4 ± 16 + 12 x 3 + 8 x 2 2 x 2

y = - 4 ± 4 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2

y = - 4 ± 2 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2

y = - 2 ± 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Passo 9

Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de y quando x = 1

y = - 2 ± 4 + 2 . 1 2 + 3 . 1 3 1 2 = - 2 ± 4 + 2 + 3 1 = - 2 ± 9 1 = - 2 ± 3 1

Como o valor de y = 1 neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Resposta

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2