Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Verifique se a equação é exata e resolva-a

2 x y - 3 y 2 x 4 d x + 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bem, ele disse que é para ver se essa equação é exata, então vamos fazer isso, e depois vamor resolver essa EDO.

A cara da equação exata é

M x , y d x + N x , y d y = 0

Então temos

M x , y = 2 x y - 3 y 2 x 4

E

N x , y = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

Uma EDO é exata se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso então...

Passo 2

Derivando M   em relação a y , consideramos x constante:

M = 2 x y - 3 y 2 x 4

M = 2 x y - 1 + 3 x 4 y 2

Usando a regra do Tombo temos:

∂ M ∂ y = - 2 x y 2 - 6 y x 4

E derivando N   em relação a x , consideramos y constante:

N = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

N = 2 y   x - 3 - 1 y 2 x 2 + 1 y

Usando a regra do tombo:

∂ N ∂ x = - 6 y x 4 - 2 x y 2

E acabamos de ver que esses caras são iguais, então verificamos que essa EDO é exata.

Passo 3

Agora é hora de resolvê-la!

A primeira coisa que fazemos é integrar M em relação a x ...

u x , y = ∫ M x , y d x

= ∫ 2 x y - 3 y 2 x 4 d x

= 2 y ∫ x   d x - 3 y 2 ∫ 1 x 4 d x

= 2 y x 2 2 - 3 y 2 - 1 x 3 + g ( y )

= x 2 y + y 2 x 3 + g y

Passo 4

Ok, esse u x , y será nossa solução, mas temos uma expressão g y que a gente não conhece. Para encontrá-la, vamos derivar o que achamos em relação a y , considerando x constante:

x 2 y + y 2 x 3 + g y

= x 2 y - 1 + 1 x 3 y 2 + g ( y )

∂ u ∂ y = - x 2 y 2 + 2 y x 3 + g ' y

Passo 5

Comparamos essa expressão com N x , y para encontrar a expressão da derivada:

d u d y = N x , y

2 y x 3 - x 2 y 2 + g ' y = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

Assim, temos:

g ' y = 1 y

Passo 6

Portanto, para encontrar a expressão de g y , integramos:

∫ g ' y d y = ∫ 1 y   d y

g y = ∫ y - 1 2   d y

g y = y - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

g y = y - 1 2 + 2 2 - 1 2 + 2 2

g y = y 1 2 1 2

g y = 2 y 1 / 2

g y = 2 y

Passo 7

A solução da nossa equação exata vai ser dada de forma implícita por

u x , y = C

Substituindo a expressão que encontramos para g y :

= x 2 y + y 2 x 3 + g y

x 2 y + y 2 x 3 + 2 y = C

Prontinho! Essa é a solução da equação😊

Resposta

y 2 x 3 + x 2 y + 2 y = C