Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Como não está tão claro, teremos que manipular um pouco pra ver se ela é uma EDO exata.

Vamos escrever y ' = d y d x :

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) d y d x + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

cos ⁡ x cos ⁡ y d y + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Passo 2

Agora vamos verificar se ela é exata! Pra ser exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Sendo que temos: M x ,   y = tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y e que N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y .

Derivando M   em relação a y e N em relação a x , temos:

∂ M ∂ y =   - sen ⁡ x cos ⁡ y

∂ N ∂ x = - sen ⁡ x cos ⁡ y  

Como são iguais, concluímos então que a equação é exata.

Passo 3

Agora vamos partir pra resolver a equação!

Vamos começar integrando M em relação à x

∫ tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = ∫ tg ⁡ x   d x - sen ⁡ y   ∫ sen ⁡ x   d x

= ln ⁡ s e c   x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Podemos escrever:

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Então:

= - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Passo 4

Agora a gente deriva o resultado obtido no passo 3 com relação a y , considerando x como constante:

∂ - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y ∂ y

= cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 5

Compare o obtido no passo 4 com N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y :

cos ⁡ x cos ⁡ y = cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Daí vemos que: g ' y = 0 :

E com isso:

g y = ∫ 0   d y

g y = 0

Passo 6

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o resultado obtido no passo 5 dentro da função do passo 3:

u x , y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y

= - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + 0

= - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x

Passo 7

A solução é dada implicitamente por u x , y = C , então vamos igualar o que achamos com C :

u = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

A solução então é:

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Prontinho! 😊

Resposta

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C