Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

( i ) Determine todas as funções f : I ⊂ R → R que tornam exata a equação diferencial y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

i i Considere a função f tal que f 0 = - 1 e encontre a solução geral da equação dada em ( i )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar pelo item ( i ) , a EDO é a seguinte:

y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

Como o problema pediu para que ela seja uma EDO exata. Definimos como:

M x , y = y 2 sen ⁡ x

N x , y = y f ( x )

A ideia para a EDO ser exata é de que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos verificar isso então...

Passo 2

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 2 y sen ⁡ x

Agora derivando N em relação a x :

∂ N ∂ x = y f ' x

Como não sabemos quem é a função f ( x ) , deixamos a derivada representa como f ' ( x ) mesmo!

Então pra ela ser exata, precisamos que:

y f ' x = 2 y sen ⁡ x

Isolando f ' x :

f ' x = 2 sen ⁡ x

Passo 3

Como encontramos f ' x = 2 sen ⁡ x , vamos integrar pra achar f ( x ) :

f x = ∫ 2 sen ⁡ x   d x

f x = - 2 cos ⁡ x + C

Então todas as funções dessa forma fazem com que a EDO seja exata!

Passo 4

( i i ) Substituindo a condição f 0 = - 1 na função encontrada ali em cima:

f x = - 2 cos ⁡ x + C

f 0 = - 2 cos ⁡ 0 + C = - 1

- 2 1 + C = - 1

C = - 1 + 2

C = 1

Assim:

f x = - 2 cos ⁡ x + 1

Passo 5

Substituindo isso na EDO:

y 2 sen ⁡ x d x + y ( - 2 cos ⁡ x + 1 ) d y = 0

Devemos agora solucionar essa EDO, sabemos que, ela é exata. Pra isso, vamos seguir o passo a passo de resolução de EDO exata:

Vamos integrar M em relação a x :

u x , y = ∫ M   d x = ∫ y 2 sen ⁡ x   d x

u x , y = y 2 ∫ sen ⁡ x   d x

u x , y = y 2 - cos ⁡ x + g ( y )

u x , y =   - y 2 cos ⁡ x + g ( y )

Passo 6

Agora vamos derivar essa expressão em relação a y :

∂ - y 2 cos ⁡ x + g y ∂ y

=   - 2 y cos ⁡ x + g ' ( y )

Comparando essa expressão com N :

N x , y =   ( - 2 y cos ⁡ x + y )

- 2 y cos ⁡ x + y = - 2 y cos ⁡ x + g ' ( y )

Concluímos que:

g ' y = y

Passo 7

Integrando g ' y = y , encontramos g ( y ) :

g y = ∫ y   d y

g ( y ) = y 2 2

Então substituindo g y = y 2 2 , nessa expressão aqui:

u x , y =   - y 2 cos ⁡ x + g ( y )

Temos:

u x , y = - y 2 cos ⁡ x + y 2 2  

E pra ficar completa, só falta igualar a uma constante agora e pronto:

- y 2 cos ⁡ x + y 2 2 = C

Passo 8

Resposta

- y 2 cos ⁡ x + y 2 2 = C