Exercícios Resolvidos de EDOs Exatas

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Enunciado

Considere as variáveis x e y relacionadas pela forma diferencial:

y e 2 x y + x d x + α x e 2 x y d y = 0

Encontre o valor de α para que o qual a equação acima seja exata.

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bem, sabemos que uma equação diferencial somente é exata se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Onde M e N são os termos da equação diferencial que acompanham d x   e d y respectivamente.

Aqui então: y e 2 x y + x d x + α x e 2 x y d y = 0

Temos:

M = y e 2 x y + x         e             N = α x e 2 x y

Basta calcular as derivadas então e ser feliz com a igualdade obtendo o α , não concorda?

Passo 2

Primeiro, calculemos aqui a derivada de M em relação a y :

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y e 2 x y + x

Como é uma derivação em relação à y , o primeiro termo é o único que sobra, já que o segundo é apenas x considerado constante na integração com relação a y :

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y e 2 x y  

Aplicando a regra do produto:

∂ M ∂ y = e 2 x y ∂ ∂ y y + y ∂ ∂ y e 2 x y

Ora, a derivada de y com relação à y é...

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y ∂ ∂ y e 2 x y

Para calcular essa segunda derivada, cuidado com a regra da cadeia:

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y e 2 x y ⋅ ∂ ∂ y 2 x y

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y 2 x e 2 x y

∂ M ∂ y = e 2 x y + 2 x y e 2 x y  

Logo... Colocando-se em evidência o termo da exponencial...

∂ M ∂ y = e 2 x y 1 + 2 x y

Passo 3

Agora, calculemos nesse outro passo a derivada do nosso N ...

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x α x e 2 x y

Como α é uma constante, ele pode sair da derivada:

∂ N ∂ x = α ∂ ∂ x x e 2 x y  

Aplicando-se então a regra do produto...

∂ N ∂ x = α e 2 x y ∂ ∂ x x + x ∂ ∂ x e 2 x y

∂ N ∂ x = α e 2 x y + x ∂ ∂ x e 2 x y

E a regra da cadeia...

∂ N ∂ x = α e 2 x y + x e 2 x y ⋅ 2 y

∂ N ∂ x = α e 2 x y + 2 x y e 2 x y

∂ N ∂ x = α e 2 x y 1 + 2 x y

Passo 4

Como vimos no passo 1 , essas duas derivadas que obtivemos devem ser iguais:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x  

Então vamos igualar nossos resultados:

e 2 x y 1 + 2 x y = α e 2 x y 1 + 2 x y    

Cortando os termos iguais dos dois lados, sobra:

α = 1

Então para que a equação seja exata, devemos ter α = 1 😊

Resposta

α = 1