Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Se

d y d x = - x - x y ,

Então lim x → ∞ ⁡ y ( x ) é igual a

  1. 1
  2. - ∞
  3. 0
  4. - 1

Passo 1

Nosso exercício pede para que nós calculemos o limite de uma função que ainda não sabemos quem é. Mas podemos descobrir resolvendo a EDO dada. Então vamos descobrir quem é a função y ( x ) e depois calcular o limite.

Pelo que conhecemos de EDO, seria excelente se esta fosse separável, não é mesmo?!

Vamos tentar escrevê-la neste formato charmoso:

d y d x = f x g ( y )

Sendo:

d y d x = - x - x y

Podemos colocar o - x e evidência, fincando com:

d y d x = - x ( 1 + y )

Observa que só o que fizemos foi colocar o x em evidência, assim encontramos a multiplicação que precisamos pra nossa EDO separável.

Fazendo:

f x = - x

g y = 1 + y

Pronto! Ela é separável!!

Passo 2

Pra resolvê-la, vamos passar pra o lado esquerdo tudo o que está em função de y e para o lado direito tudo o que está em função de x .

d y d x = - x ( 1 + y )

1 1 + y d y = - x d x

Assim, temos uma função só em y de um lado e outra só em x do outro lado.

Passo 3

Agora, integramos os dois lados.

∫ d y 1 + y =   - ∫ x d x

Observa que tirei o – de dentro da integral do lado direito! Isso não tem problema nenhum.

Resolvendo primeiro essa integral, temos

∫ x d x

Isso é simplesmente um polinômio, e a integral do polinômio nos é dada por

x n = n n + 1 n + 1 + C

No nosso caso n = 1 , logo

- ∫ x d x = - x 2 2 + C 1

Para a integral do lado esquerdo vou precisar que você se lembre da integral de 1 u

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C  

Então pra nossa integral teremos

∫ d y 1 + y =   ln ⁡ 1 + y + C 2

Passo 4

Com as contas todas feitas podemos voltar a igualdade que tínhamos

∫ d y 1 + y =   - ∫ x d x

ln ⁡ 1 + y + C 2 = - x 2 2 + C 1

Podemos juntar essas duas constantes e chamamos apenas de C .

ln ⁡ 1 + y = - x 2 2 + C

Passo 5

Próximo passo será isolar o y . Com o que estamos trabalhando agora confesso que parece que vai ser chato. Mas vamos lembrar que, pra tirar algo de dentro do ln, simplesmente aplicamos o exponencial dos dois lados da igualdade.

ln ⁡ 1 + y = - x 2 2 + C

e ln ⁡ 1 + y = e - x 2 2 + C

Podemos cortar o e como o ln ⁡ . E vai ficar assim:

1 + y = e - x 2 2 + C

Aqui vou precisar que você lembra de uma outra propriedade do exponencial.

e a + b = e a . e b

No nosso caso, vamos fazer isso do lado direito. Logo

1 + y = e - x 2 2 . e C

Exponencial elevado a C é simplesmente uma constante que podemos chamar de qualquer coisa, que vou nesse caso chamar de K .

Além disso vamos deixar o y sozinho jogando o 1 para o outro lado subtraindo:

y x = K e - x 2 2 - 1

E essa é a função que estávamos procurando.

Passo 6

Vamos calcular o que enunciado pede, que é o limite quando x → ∞ dessa função, vamos fazer:

lim x → ∞ ⁡ y ( x ) =   lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 - 1

Observa que podemos separar isso em dois limites, já que é uma soma

lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 - 1 = lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 - lim x → ∞ ⁡ 1

O resultado do segundo limite fica 1 mesmo, já o primeira fica

lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 = lim x → ∞ ⁡ K e - ∞ 2 2 = K e - ∞

Mas quando vale o exponencial de menos infinito?? Bom, pra gente saber isso, é legal termos o gráfico do exponencial na cabeça.

Observa que a função exponencial (curva azul) se aproxima cada vez mais e mais de y = 0 quanto menor o valor de x, ou seja, quando x está lá no menos infinito, consideramos que a função vai valer zero, tranquilo?

Uma vez que: lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 = 0   Podemos então voltar pra o limite

lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 - lim x → ∞ ⁡ 1

0 - 1

= - 1

Prontinho

Resposta

lim x → ∞ ⁡ y ( x ) =   - 1