Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Seja a equação diferencial ordinária y ' t = 2 y t y t - 1 .

Obtenha a solução geral da EDO acima.

Passo 1

Lendo o enunciado temos um pedido bem diretão. É pra gente encontrar a solução da EDO...tranquilo, mas como? Vou precisar que você perceba que isso é uma EDO separável, ou seja, temos a EDO na forma

y ' = f t g ( y )

y ' = 2 y y - 1

Nesse caso temos

g y = y y - 1

f t = 2

Colocar a derivada na forma d y d t em vez de y '

d y d t = 2 y ( y - 1 )

Passo 2

Vamos então colocar do lado esquerdo tudo aquilo que está em função de y e do lado direito tudo o que está em função de t

d y d t = 2 y ( y - 1 )

1 y ( y - 1 ) d y = 2 d t

Neste passo, como jogamos o termo y ( y - 1 ) para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero! Lembra que não podemos ter divisão por zero? Então, essa é a razão

y ( y - 1 ) ≠ 0

Então y ≠ 0 e y ≠ 1 , ou seja: y ≠ 0,1

Passo 3

Próximo passo será integrar dos dois lados:

∫ d y y y - 1 = ∫ 2   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 y y - 1 = A y + B y - 1

⇒ 1 y y - 1 = A ( y - 1 ) + B y y y - 1

⇒ 1 y y - 1 = A + B y - A y y - 1

Para essa igualdade ser real vamos precisar que A + B y - A = 1

Logo

A + B = 0   - A = 1

Isso acontece pois A + B   está multiplicando um y , e na igualdade A + B y - A = 1 observe que não tem nada em função de y , logo A + B = 0 . E a parte constante ( - A ) vai ser igual a parte constante do outro lado da igualde (1).

Logo:

A = - 1 B = 1

Substituindo:

1 y y - 1 = - 1 y + 1 y - 1

Podemos agora então separar a integral em duas outras que conseguimos resolver

  ∫ d y y ( y - 1 ) = ∫ - 1 y + 1 y - 1 d y = - ∫ d y y + ∫ d y y - 1

Substituindo na primeira equação:

- ∫ d y y + ∫ d y y - 1 = ∫ 2   d t

Para resolver essas integrais do lado esquerdo da igualdade vou precisar que você lembre que

∫ 1 y d y = ln ⁡ y + C

E

∫ d y y - 1 = ln ⁡ y - 1 + C

E olhando para o lado direito, vamos lembrar que para a integral da constante temos:

  ∫ P d x = P x + C

Onde P é uma constante, que no nosso caso é o número 2.

Teremos então que

- ln ⁡ y + ln ⁡ y - 1 = 2 t + C

Para juntar esses y dos dois ln ⁡ vamos precisar lembrar da propriedade do ln ⁡  

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

tendo

- ln ⁡ y + ln ⁡ y - 1 = 2 t + C

Vamos só trocar de lugar o ln ⁡ que está negativo, pra gente não se confundir:

ln ⁡ y - 1 - ln ⁡ y = 2 t + C

Aplicando a propriedade:

ln ⁡ y - 1 y = 2 t + c

Passo 4

Agora precisamos isolar o y ( x ) que pode ser meio chatinho, mas vem comigo, confia que vai dar certo:

Como apareceu um ln ⁡ , vamos aplicar a exponencial nos dois lados, assim conseguimos remover esses y de dentro do ln:

e ln ⁡ y - 1 y = e 2 t + c

Vou abrir o exponencial do lado direito da igualdade com a propriedade

e a + b = e a + e b

Teremos então

⇒ e ln ⁡ y - 1 y = e 2 t ⋅ e c

⇒ y - 1 y = e 2 t ⋅ e c

Tirando do módulo:

⇒ y - 1 y = ± e c ⋅ e 2 t

Pra facilitar nossa vida, vamos substituir a = ± e c . Caso você não queria, tranquilo, você pode levar esse ± até o final da conta:

y - 1 y = a e 2 t

⇒ y - 1 = ( a e 2 t ) y

⇒ y - 1 - a e 2 t y = 0

Colocando agora o y em evidência

⇒ 1 - a e 2 t y - 1 = 0

Finalmente então isolando o y

⇒ y = 1 1 - a e 2 t

Logo, a solução geral da EDO é

y t = 1 1 - a e 2 t

Passo 5

Resposta

y t = 1 1 - a e 2 t