Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Ache a solução geral da equação diferencial abaixo:

d y d x = x y + 3 x - y - 3

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é tentar reescrever essa equação no formato característico de equação separável, ou seja, separando o y   do x ,   beleza?

d y d x = f x . g ( y )

Então vamos ter:

d y d x = x y - y + 3 x - 3 = y x - 1 + 3 x - 1

Colocando ( x - 1 ) em evidência:

d y d x = ( y + 3 ) ( x - 1 )

Maravilha, veja que temos uma multiplicação de uma função só em y e outro só em x . Então conseguimos escrevê-la como uma EDO separável.

Agora, jogando tudo que tem x para a direita e tudo o que tem y   para esquerda, ficamos com:

d y y + 3 = x - 1 d x

Lembrando que y ≠ - 3 para o denominador da fração não ser igual a zero.

Passo 2

Feito isso podemos começar a nossa receita de bolo de separável integrando os dois lados. Vamos começar integrando o lado direito:

∫ d y y + 3

Aqui nós temos podemos fazer uma substituição onde,

u = y + 3

d u = d y

Então ficamos com:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando agora com nossa expressão original de u :

∫ d y y + 3 = ln ⁡ y + 3 + C 1

Passo 3

Integrando agora a parte direita da EDO, ou seja, a parcela que tem x , temos:

∫ x - 1 d x = ∫ x   d x - ∫ 1   d x

Ou seja,

∫ x - 1 d x = x 2 2 - x + C 2

Agora que já temos nossas integrais, podemos retornar a nossa igualdade.

Passo 4

Igualando as duas integrais temos:

ln ⁡ y + 3 + C 1 = x 2 2 - x + C 2

Repara que podemos diminuir um pouco essa expressão juntando essas duas constantes de integração, fazendo ela virar uma única, ou seja,

C = C 2 - C 1

ln ⁡ y + 3 = x 2 2 - x + C

Assim já está correto mas pode acontecer do professor pedir para você dar a resposta em formato exponencial, nesse caso vamos seguir para o próximo passo.

Passo 5

Se quisermos deixar de uma forma explícita, vamos jogar a exponencial dos dois lados. Ou seja, o l n vai sumir e tudo o que estava do lado direito da equação vai ser o expoente do e :

y + 3 = e x 2 2 - x + C

y = e x 2 2 - x + C - 3

Resposta

y = e x 2 2 - x + C - 3 ,                 C   é   u m a   c o n s t a n t e