Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Resolva a equação diferencial dada por separação de variável descrita abaixo:

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Passo 1

Vamos começar escrevendo essa equação naquele formato característico de EDO separável.

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 2 x 2

Pra isso podemos jogar tudo o que é x para a esquerda e tudo o que é y para a direita temos:

x 2 ln ⁡ x d x = y + 1 2 y d y

Agora que já está naquele formato que a gente gosta é só começar a botar a mão na massa e integrar de ambos os lados.

Passo 2

Vamos integrar cada lado da equação separado começando pelo lado esquerdo. Dessa forma:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Vamos utilizar o método de integração por partes para resolver essa brincadeira. Lembrando o método:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aqui vamos usar,

u = ln ⁡ x

d v = x 2 d x

Onde,

∫ d v = ∫ x 2 d x

v = x 3 3

E,

d u = 1 x

Então teremos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x   =   ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 2 3 d x   = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 3.3    

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9

Dessa vez vamos deixar para colocar a constante de integração no final, beleza?

Passo 3

Integrando o outro lado da equação:

∫ y + 1 2 y d y

Aqui nós vamos precisar abrir o produto notável, lembrando que:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Mas nesse caso o nosso a vai ser representado pelo y e o b   por 1. Então,

y + 1 2 = y 2 + 2 y + 1

∫ y + 1 2 y d y

= ∫ y 2 + 2 y + 1 y d y

Vamos separar as parcelas e simplificar pra ficar mais fácil de integrar:

∫ y 2 y d y + ∫ 2 y y d y + ∫ 1 y d y

∫ y + 1 2 y d y = ∫ y   d y + ∫ 2   d y + ∫ 1 y d y

Resolvendo essas integrais, teremos:

∫ y + 1 2 y d y = y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y

Passo 4

Agora é só juntar nossos resultados. Igualando as duas integrais obtidas e incluindo a constante de integração, C , vamos ficar com:

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + C  

Repara que como deixamos a constante de integração para o final, dessa vez não vamos precisar nos preocupar com várias constantes de nomenclaturas diferentes.

Agora vamos reescrever ela? Não dessa vez! Devido à complexidade da equação não será possível escrever a resposta na forma explicita, somente na implícita como a gente fez logo acima.

Resposta

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + D

Onde C é uma constante