Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Considere a equação diferencial

y ' = 7 x e x + y

a Ache a solução geral.

b Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial y 0 = 2 .

Passo 1

a) A letra (a) nos pede simplesmente pra encontrarmos a solução geral, vamos lá então, pra começar precisamos perceber que essa EDO é uma separável. Complicado notar isso quando precisamos ter

y ' = f x g y

E o que temos não parece muito com isso que procuramos.

y ' = 7 x e x + y

Vou precisar agora que você se lembre de uma propriedade da exponencial. Temos que

e a + b   = e a . e b

No caso da nossa questão temos e x + y  

e x + y = e x . e y

Então reescrevendo a EDO

y ' = 7 x e x e y

y ' = 7 x e x 1 e y

Observa que pra esse caso agora temos exatamente o que estávamos procurando, um produto de duas funções, uma só em x , e outra só em y .

y ' = f x g y

f x = 7 x e x

g y = 1 e y

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 7 x e x 1 e y

Passo 2

Vamos passa pra o lado esquerdo tudo o que está em função de y e para o direito tudo o que está em função de x .

e y d y = 7 x e x d x

Vamos deixar isso com uma cara mais amigável subindo esse e x .

e y d y = 7 x e - x d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ e y d y = ∫ 7 x e - x d x

O lado esquerdo fica tranquilinho já que é simplesmente um exponencial e temos a integral da exponencial é a própria exponencial:

∫ e y d y = e y + C 1

Onde C 1 é nossa constante de integração. Assim, ficamos com:

e y + C 1 = ∫ 7 x e - x d x

Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

∫ 7 x e - x d x

Pra resolver isso vou precisar que você se lembre de como resolver a integral por partes. Vamos seguir a ordem do LIATE (log, inversas, algébrica, trigonométrica, exponencial), onde essa ordem é a que vamos respeitar para escolher o u .

Como não temos nenhuma função log ou inversa, nosso u então será o 7 x .

Tudo o que sobra dentro da integral é então o d v

u = 7 x → d u = 7 d x

d v = e - x d x → v = - e - x

A nossa integral vai ficar

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x - ∫ - 7 e - x d x

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 ∫ e - x d x

Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer já que já vimos que a integral da exponencial é ela mesma, então vamos ter

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 - e - x + C

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Passo 5

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

e y = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Agora precisamos isolar aquele y , pra isso, vamos aplicar a função inversa a exponencial dos dois lados, isso é, o ln ⁡ , assim conseguimos isolar o y

ln ⁡ e y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Cortando o ln ⁡   com o e do lado esquerdo ficamos com:

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Que é a nossa solução geral pedida no item a).

Passo 6

b) Agora precisamos aplicar a condição inicial para descobrirmos o valor da constante.

Ele disse no enunciado que

y 0 = 2

Então, vamos substituir o x por 0 e igualar a 2. Assim teremos uma equação onde vamos conseguir achar o valor da constante C .

y x = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Substituindo todos os x por zero

y 0 = ln ⁡ - 7.0 . e - 0 - 7 e - 0 + C = 2

ln ⁡ - 7 + C = 2

Para achar o valor de C vamos aplicar a exponencial em ambos os lados, já que dessa vez queremos isolá-lo.

e ln ⁡ - 7 + C = e 2

- 7 + C = e 2

C = e 2 + 7

Já que temos o valor de C podemos então substituir na solução que tínhamos antes

y x = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + e 2 + 7

Prontinho, respondida a letra d).

Resposta

a)

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

b)

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + e 2 + 7