Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

y ' - x y 2 = x

y 0 = 1

Passo 1

Bom, vamos lá matar mais um questão! Pra começar, vamos reorganizar essa EDO daí pra a forma como estamos mais familiarizados, e conseguir perceber que se trata de uma EDO separável.

y ' - x y 2 = x

Vamos colocar o - x y 2 do outro lado da equação:

y ' = x + x y 2

A partir daqui vou simplesmente colocar o x em evidência

y ' = 1 + y 2 x

Lindo demais, né? Agora é só eu trocar o y ' por d y d x

d y d x = 1 + y 2 x

Agora vou deixar do lado esquerdo da função tudo o que está em função de y , e do lado direito tudo o que está em função de x , tranquilo?

1 1 + y 2 d y = x d x

Passo 2

Maravilha! Agora integrando ambos os lados, ficamos com

∫ d y 1 + y 2 = ∫ x d x

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente e depois igualar o resultado.

A integral da direita é

∫ x d x = x 2 2 + C

Pra resolver essa integral precisamos lembrar da propriedade

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C 1

Por isso temos o resultado encontrado acima, tranquilo?

Passo 3

A integral da esquerda é uma integral já tabelada que vale:

∫ d y 1 + y 2 = arctan ⁡ y + C 2

Passo 4

Então substituindo os resultados que encontramos, temos

∫ d y 1 + y 2 = ∫ x d x

arctan ⁡ y + C 2 = x 2 2 + C 1

Podemos juntar as duas constantes e chamar simplesmente de C .

arctan ⁡ y = x 2 2 + C

Vamos então, isolar o y .

y = tan ⁡ x 2 2 + C

Maravilha, achamos nosso resultado.

Passo 5

Agora usando a condição inicial y 0 = 1 para descobrirmos o valor dessa constante C , ficamos com

y 0 = 1

y x = tan ⁡ x 2 2 + C

y 0 = tan ⁡ 0 2 2 + C = 1

tan ⁡ C = 1

Para termos a tangente igual a 1, precisamos que C seja igual a π 4 , que corresponde ao ângulo de 45 ° . Veja na tabela:

Então:

⇒ C = π 4 = 45 °

Portanto a solução é dada por

y = tan ⁡ x 2 2 + π 4

Resposta

y = tan ⁡ x 2 2 + π 4