Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Se y é a solução do problema de valor inicial

d y d x +   e x y 2 = 0

y 0 = 1

Então é errado afirmar que

  1. y ( 1 ) < 1
  2. y é limitada
  3. y é decrescente
  4. y x > 0 para todo x ∈ R
  5. lim x → ∞ ⁡ y ( x ) = 0

Passo 1

Pelo que conhecemos de EDO, seria excelente se esta fosse separável, não é mesmo?!

Vamos tentar escrevê-la neste formato charmoso:

d y d x = f x g ( y )

Passando o e x y 2   para o outro lado temos

d y d x =   - e x y 2

Opa, isso é justamente que queremos!

f x = - e x

g y = y 2

Pronto! Ela é separável !!

Passo 2

Passando para o lado esquerdo tudo o que está em função de y e para o lado direito tudo o que está em função de x .

1 y 2 d y =   - e x d x

Passo 3

Agora, integramos os dois lados.

∫ d y y 2 =   - ∫ e x d x

A integral do lado esquerdo pode parecer complicada, mas na verdade é só um polinômio.

Observa que

1 x n = x - n

Com isso podemos reescrever aquilo como

∫ y - 2 d y

Agora vou precisar que você lembre da integral do polinômio, onde

x n = x n + 1 n + 1 + C

No nosso caso, n = - 2 . Então teremos

∫ y - 2 d y

y - 2 + 1 - 2 + 1

y - 1 - 1 = - y - 1

Como o expoente está negativo, vamos colocar o y no denominador pra ele ficar positivo.

= - 1 y + C 1

Pronto, essa foi!

Para resolver a outra integral só precisamos lembrar da integral do exponencial, que é igual a ele mesmo!

- ∫ e x d x =   - e x + C 2

Passo 4

Juntando os resultados que obtivemos.

∫ d y y 2 =   - ∫ e x d x

- 1 y + C 1 =   - e x + C 2

Somando as constantes, vamos chamar simplesmente de C , e ficamos então com

- 1 y =   - e x + C

Passo 5

Agora vamos isolar o y ,   certo?

- 1 y =   - e x + C

Começamos multiplicando cruzado

- 1 = y - e x + C

Passamos agora o termo que está multiplicando o y , dividindo para o outro lado

y = - 1 - e x + C = 1 e x - C

Passo 6

Agora só falta resolver o P.V.I. para podermos descobrir o valor da constante C . Aplicando que y = 1   e   x = 0   ( y 0 = 1 )

1 =   1 e 0 - C =   1 1 - C

Isolando então o C

1 - C =   1 ∴ C = 0

Já que descobrimos que a constante vale zero, podemos escrever y como

y = 1 e x - C

y = 1 e x

Colocando esse exponencial no numerador só pra ficar bonitinho, lembrando da propriedade

1 x n = x - n

Temos

y = e - x

Passo 7

Para podermos fazer a análise que o enunciado nos pede vamos precisar lembrar de como é o gráfico da exponencial

Mas nós estamos trabalhando com e - x , certo? Esse menos na frente do x faz com que nos tenhamos que simplesmente espelhar a função em relação ao eixo y . Ficamos então com

Observando então as opções, vemos que a letra (b) nos diz que a função é limitada! O que não é verdade! Ela vai desde menos infinito até mais infinito tranquilamente! Então essa é a opção errada

Resposta

A letra (b) é errada.