Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

  1. Mostre que a equação
  2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  3. Resolva a mesma

Passo 1

Na letra (a) nós precisamos conferir se a equação é separável, para isso temos que isolar d y d x e ver se d y d x vai ser o produto de uma função só de x com uma função só de y , show?

d y d x = f x . g ( y )

Então vamos começar passando o y da esquerda para a direita da equação:

y + x d y d x = 1 y

x d y d x = 1 y - y

Agora jogando o x   para o outro lado,

d y d x = 1 y - y 1 x

Com isso vemos que a EDO realmente é uma equação separável, pois há uma multiplicação entre os parênteses, sendo o primeiro é só de y e o segundo só de x .

Passo 2

Agora que sabemos que a equação é separável, a letra (b) nos pede para resolver. E para isso temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

d y 1 y - y = 1 x d x

Agora vamos integrar dos dois lados,

∫ d y 1 y - y = ∫ 1 x d x

A integral do lado direito é a famosa:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Dessa forma,

∫ d y 1 y - y = ln ⁡ x + C 1

Mas e a integral do lado esquerdo?

Passo 3

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

∫ d y 1 y - y

Vamos começar dando uma arrumada nisso,

∫ d y 1 y - y

= ∫ d y 1 - y 2 y

Como temos uma fração no denominador, vamos repetir a parte de cima e multiplicar pelo inverso da fração que está embaixo. E vai ficar assim:

= ∫ y d y 1 - y 2

Agora que já ficou um pouco melhor, vamos resolver fazendo substituição:

1 - y 2 = u

d u = - 2 y d y

→ y d y = - 1 2 d u

Colocando isso na integral,

∫ y d y 1 - y 2 = - 1 2 ∫ d u u

Resolvendo a integral vamos ter,

- 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ u + C 2

E agora voltando para y ,

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 + C 2

Passo 4

Voltando para nossa integral vamos ter,

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 + C 2 = ln ⁡ x + C 1

Juntando as constantes de integração do mesmo lado teremos:

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x + C 1 - C 2

E como são constantes podemos escrever assim:

C = C 1 - C 2

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x + C

Vamos também passa esse - 1 2 para o outro lado da equação, ficando com:

ln ⁡ 1 - y 2 = - 2 ln ⁡ x - 2 C

Agora temos que isolar o y , e pra isso vamos usar uma propriedade de logaritmo que fala,

a ln ⁡ x = ln ⁡ x a

Então esse - 2 que está na frente do ln ⁡ x vai subir lá por expoente de x :

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

Como x - 2 é sempre positivo, podemos tiras as barrinhas do módulo

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

E para deixar o   y sozinho, precisaremos aplicar a exponencial dos dois lados da igualdade. Fazemos isso sempre que quisermos tirar alguma coisa de dentro de um logaritmo.

e ln ⁡ 1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 - 2 C

Assim vamos poder cortar o e com o ln ⁡ e vai sobrar só a parte de dentro do ln ⁡ .

e ln ⁡ 1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 - 2 C

Ainda podemos separar o expoente da expressão que está do dado direito, fazendo:

1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 e - 2 C

Isso vai deixar a gente cortar o e com o ln ⁡ deste lado também

1 - y 2 = x - 2 e - 2 C

Podemos deixar assim que a resposta já está certa, maaaas é comum darmos uma embelezada maior nela.

Passo 5

Para deixar a resposta mais bonita podemos fazer e - 2 C sendo K , porque ele é todo uma constante. Então,

1 - y 2 = x - 2 K

Então temos,

1 - y 2 = ± K x - 2

y 2 = 1 ∓ K x - 2

Podemos fazer ainda ∓ K = C 3

E com isso vamos ter,

y 2 - 1 = C 3 x - 2

Agora acabou! 😉

Resposta

b)

y 2 - 1 = C 3 x - 2