Exercícios Resolvidos de EDOs Separáveis

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Enunciado

Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

Passo 1

Eu particularmente gosto de enunciado assim, bem diretão! O que ele quer da gente é simplesmente achar a solução geral dessa EDO. Vamos lá então. A primeira coisa que temos que perceber é que essa equação é separável.

y ' = 2 x 1 - y 2

Lembra lá da teoria? Pra sabermos se uma equação é separável ou não, precisamos que ela tenha a forma

y ' = f x . g y

Nesse caso acima é exatamente o que temos, onde

f x = 2 x

g y = 1 - y 2  

Para começar a resolução, nosso primeiro passo é simplesmente trocar y ' por d y d x

d y d x = 2 x 1 - y 2

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito. Seguindo nosso passo a passo da teoria, nosso próximo passo é então separarmos para o lado esquerdo da igualdade tudo aquilo que está em função de y , e tudo aquilo que está em função de x vai para o lado esquerdo. Ficamos então com

d y d x = 2 x 1 - y 2

1 1 - y 2   d y = 2 x   d x

Observe que a parte com a raiz passou dividindo para o lado esquerdo da igualdade, já que estava multiplicando quando estava do lado direito.

Pra ficar mais organizado podemos simplesmente reescrever isso como

d y 1 - y 2 = 2 x d x

Passo 3

Agora que já está separado, temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

Resolvendo primeiro o lado direito dessa igualdade temos

∫ 2 x   d x

Ela é uma integral de polinômio, então teremos:

x n = x n + 1 n + 1 + C 1

Onde C 1 é nossa constante de integração.

Observa que podemos tirar esse 2 de dentro da integral já que é apenas uma constante. Ficaremos então com.

2 ∫ x   d x

= 2 x 2 2 + C 1

x 2 + C 1

Mas e o lado esquerdo?

Queremos resolver essa integral

∫ d y 1 - y 2

Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y + C 2

Mas infelizmente isso aí é uma coisa que vamos ter de memorizar, porque essa integral é tabelada.

Passo 4

Voltando para a EDO, vamos substituir as integrais que achamos.

Antes tínhamos

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

Já descobrimos as integrais dos dois lados que foram

arcsen ⁡ y + C 2 = x 2 + C 1

Como temos constantes dos dois lados da igualdade, podemos reescrever ela de um lado só

arcsen ⁡ y = x 2 + C

Por último agora precisamos isolar o y. Chato esse passo aí por que ele está dentro de um a r c s e n , né? Mas pra isso vamos precisar de uma propriedade que diz que:

a r c s e n a = b

a = s e n ( b )

Veja que o que está dentro do nosso a r c s e n será igual ao seno do resultado.

No nosso caso, a = y e b = x 2 + C  

Então teremos para a solução explícita

y = sen ⁡ x 2 + C

E com essa propriedade a gente encontra o resultado.

Resposta

y = sen ⁡ x 2 + C